[论文解读] Adding random edges to create the square of a Hamilton cycle

Patrick Bennett, Andrzej Dudek+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用 12

一句话总结

该论文表明，对于最小度为 $ \alpha n $（其中 $ \alpha > 1/2 $）的图，添加 $ O(n^{4/3} /\log^{1/3}n) $ 条随机边即可以高概率构造出哈密顿圈的平方。该方法采用三阶段随机边添加策略，并结合基于旋转的算法（ERA）来构建并闭合2-路径，利用连通性和边密度确保所需圈结构的存在。

ABSTRACT

We consider how many random edges need to be added to a graph of order $n$ with minimum degree $αn$ in order that it contains the square of a Hamilton cycle w.h.p..

研究动机与目标

• 确定在最小度为 $ \alpha n $（其中 $ \alpha > 1/2 $）的图中，确保哈密顿圈平方存在的最少随机边数量。
• 将Bohman、Frieze和Martin关于哈密顿性的结果推广至哈密顿圈的平方。
• 为稠密图中以高概率保证哈密顿圈平方存在的随机边添加提供一个阈值。
• 分析2-路径的结构特性及其在基于旋转与扩展的算法（ERA）下通过随机边实现闭合的过程。

提出的方法

• 将随机边集 $ X $ 划分为三个相互独立的子集 $ X_1, X_2, X_3 $，每个子集的边包含概率为 $ p = \frac{K \log^{1/3}n}{n^{2/3}} $。
• 使用 $ X_1 $ 构造图 $ \Gamma_1 = \Pi(G + X_1) $，其边集对应于一个随机完美匹配的边，其中边表示由 $ K_4 $ 导出的子图。
• 利用Azuma-Hoeffding不等式，证明 $ \Gamma_1 $ 以高概率具有至少 $ \beta_1 n $ 的最小度，其中 $ \beta_1 = (2\alpha - 1)^3 / 2 $。
• 使用 $ X_2 $ 构造 $ \Gamma_2 = \Pi(G + X_1 + X_2) $，并通过分量扩展论证证明其以高概率连通。
• 应用边旋转算法（ERA），通过 $ \Gamma $ 中的边迭代地旋转并扩展2-路径，尝试通过 $ X_3 $ 实现路径闭合。
• 对于奇数 $ n $，使用额外的边集 $ X_4 $ 构造一个特殊子图（图5），以维持支柱结构并支持路径的闭合。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最小度为 $ \alpha n $（其中 $ \alpha > 1/2 $）的图，需要多少条随机边才能以高概率确保哈密顿圈平方的存在？
• RQ2 基于旋转与扩展的算法（ERA）是否能仅通过 $ O(n^{4/3} \log^{1/3}n) $ 条随机边成功地将2-路径闭合为哈密顿圈的平方？
• RQ3 $ \Gamma_2 $ 的连通性如何在ERA框架中支持圈的扩展与闭合？
• RQ4 当最小度显著低于 $ n/2 $ 时，所需随机边数的下限是多少？

主要发现

• 对于任意 $ \alpha > 1/2 $，存在常数 $ K = K(\alpha) $，使得添加 $ |X| \geq K n^{4/3} \log^{1/3}n $ 条随机边可确保哈密顿圈平方以高概率存在。
• 图 $ \Gamma_1 = \Pi(G + X_1) $ 以高概率具有至少 $ \beta_1 n $ 的最小度，其中 $ \beta_1 = (2\alpha - 1)^3 / 2 $。
• 图 $ \Gamma_2 = \Pi(G + X_1 + X_2) $ 以高概率连通，从而在ERA算法中支持圈的扩展。
• 边旋转算法（ERA）以高概率成功地将2-路径闭合为圈，失败概率被控制在 $ \exp(-\Omega(\log n)) $ 以内。
• 对于奇数 $ n $，使用辅助边集 $ X_4 $ 构造一个特殊子图，以支持基于支柱的路径构造与闭合。
• 当 $ \alpha $ 较小时，证明了需要 $ \Omega(n^{3/2 - o(1)}) $ 条随机边，该下界接近最优的 $ n^{3/2} $ 边界。