[论文解读] Addition and Differentiation of ZX-Diagrams

Emmanuel Jeandel, Simon Perdrix+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Database Systems and Queries被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于相加和微分ZX-图的归纳方法，实现了量子线路中导数的完整图解计算。通过利用受控态和归纳重写规则，该方法在无需形式和的情况下，实现了对参数化ZX-图的导数计算，可直接应用于变分量子算法（如QAOA和VQE）。

ABSTRACT

The ZX-calculus is a powerful framework for reasoning in quantum computing. It provides in particular a compact representation of matrices of interests. A peculiar property of the ZX-calculus is the absence of a formal sum allowing the linear combinations of arbitrary ZX-diagrams. The universality of the formalism guarantees however that for any two ZX-diagrams, the sum of their interpretations can be represented by a ZX-diagram. We introduce a general, inductive definition of the addition of ZX-diagrams, relying on the construction of controlled diagrams. Based on this addition technique, we provide an inductive differentiation of ZX-diagrams. Indeed, given a ZX-diagram with variables in the description of its angles, one can differentiate the diagram according to one of these variables. Differentiation is ubiquitous in quantum mechanics and quantum computing (e.g. for solving optimization problems). Technically, differentiation of ZX-diagrams is strongly related to summation as witnessed by the product rules. We also introduce an alternative, non inductive, differentiation technique rather based on the isolation of the variables. Finally, we apply our results to deduce a diagram for an Ising Hamiltonian.

研究动机与目标

• 解决ZX演算中缺乏形式和运算的问题，该问题阻碍了参数化量子线路的微分。
• 为变分量子算法（如QAOA和VQE）提供图解微分能力，其中通过导数进行参数优化至关重要。
• 开发一种将ZX-图的导数表示为另一个ZX-图的方法，避免使用形式和或图的集合。
• 提供一种保持ZX演算图形性质的构造性、归纳性框架，用于相加与微分。
• 通过从其指数酉演化中推导出伊辛哈密顿量的图示，展示该方法的实用性。

提出的方法

• 基于已知支持求和的受控态，提出一种基于受控态的ZX-图归纳相加过程。
• 利用受控态归纳表示任意ZX-图，通过受控态相加实现任意两个图的求和。
• 通过显式编码乘积法则（∂(fg) = ∂f·g + f·∂g）的图示形式，推导出归纳微分规则。
• 将该微分方法应用于参数β线性依赖的线性ZX-图族ZX(β)。
• 提供一种基于图中变量依赖部分隔离的非归纳微分技术作为替代。
• 利用Stokes定理从酉演化图的导数重构哈密顿量，实现图解哈密顿量合成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在ZX演算内部完全定义并计算任意两个ZX-图的和？
• RQ2 参数化ZX-图的导数能否表示为单个ZX-图，从而避免使用形式和？
• RQ3 微分的乘积法则在ZX演算中如何以图示形式编码？
• RQ4 该方法能否用于从酉演化指数中推导出哈密顿量图？
• RQ5 该方法对变分量子算法的分析与优化具有何种实际影响？

主要发现

• 本文提供了一种完全归纳的方法，通过将问题归约为受控态的求和，实现任意两个ZX-图的相加。
• 证明了参数化ZX-图的导数可表示为单个ZX-图，从而实现了完整的图解演算。
• 对于线性图族ZX(β)，推导出显式且简洁的微分公式，极大简化了变分线路的分析。
• 该方法允许从其指数酉演化导数的图示中，图解重构伊辛哈密顿量，如示例6.3所示。
• 该方法支持使用ZX演算重写规则简化如⟨ψ(β)|H|ψ(β)⟩及其导数的表达式，实现完整的图解优化。
• 通过从eiβH的导数推导出哈密顿量H = Z₁ − Z₂ + Z₁Z₂，验证了方法的正确性，结果与Stokes定理一致。