[论文解读] Addition Chains Meet Postage Stamps: Reducing the Number of Multiplications

Jukka Kohonen, Jukka Corander|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文引入了邮票链（stamp chains）——同时具备加法链和加法2基（邮票基）特性的集合——以减少计算重复函数应用时所需的乘法次数。通过利用零成本函数 $ u $ 和 $ v $，该方法在少于 $ n-1 $ 次乘法内计算出 $ u(x^i) $（$ i=1,\ldots,n $），在矩阵乘法和子集卷积等应用中实现显著加速，对于 $ n=20 $ 的情形实现了 66% 的性能提升。

ABSTRACT

We introduce stamp chains. A stamp chain is a finite integer sequence that is both an addition chain and an additive 2-basis, i.e., a solution to the postage stamp problem. We provide a simple method for converting known postage stamp solutions of length k into stamp chains of length k+1. Using stamp chains, we construct an algorithm that computes u(x^i) for i=1,...,n in less than n-1 multiplications, if u is a function that can be computed at zero cost, and if there exists another zero-cost function v such that v(a,b) = u(ab). This can substantially reduce the computational cost of repeated multiplication, as illustrated by application examples related to matrix multiplication and data clustering using subset convolution. In addition, we report the extremal postage stamp solutions of length k=24.

研究动机与目标

• 解决在计算 $ u(x^i) $（$ i=1,\ldots,n $）时，即使中间幂次无需保留，仍需执行 $ n-1 $ 次乘法的计算低效问题。
• 识别并利用加法链与邮票问题之间的结构关联，以最小化所需乘法次数。
• 设计一种算法，通过重用函数求值（利用零成本复合 $ v(a,b) = u(ab) $）以少于 $ n-1 $ 次乘法计算 $ y_i = u(x^i) $。
• 从已知的极值邮票基构造高效邮票链，以在实际应用中实现最小乘法序列。
• 提供一种适用于矩阵幂计算与贝叶斯聚类中子集卷积等问题的框架，其中仅需特定函数值。

提出的方法

• 将邮票链定义为同时满足加法链（每个元素是两个更早元素之和）与邮票基（使用至多两个元素可生成 1 到 $ n $ 的所有整数）的集合。
• 提出算法 A，通过仅计算选定的幂次并利用 $ v $ 组合，仅用 $ k-1 $ 次乘法计算 $ y_1, \ldots, y_n $，其中 $ k $ 是范围 $ \geq n $ 的邮票链长度。
• 利用零成本函数 $ u $ 和 $ v $（满足 $ v(a,b) = u(ab) $）的性质，在计算复合指数的 $ u(x^i) $ 时避免完整乘法。
• 使用定理 1，从已知的极值邮票基构造邮票链，该定理可将任意长度为 $ k $ 的可接受邮票基转化为长度为 $ k+1 $ 的邮票链。
• 将该方法应用于贝叶斯聚类中的子集卷积，其中仅需每个函数表的最后一个元素，且 $ v $ 允许在无需完整卷积的情况下快速评估。
• 利用已知的极值邮票基（如 $ k=24 $）生成最短长度的邮票链，从而在实际中降低计算成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ u $ 和 $ v(ab) = u(ab) $ 可以以可忽略成本计算时，如何减少计算 $ u(x^i) $（$ i=1,\ldots,n $）所需的乘法次数？
• RQ2 加法链与邮票问题之间存在何种结构特性，使得能够实现最小乘法序列？
• RQ3 已知的邮票问题解法能否系统性地转化为函数计算的高效加法链？
• RQ4 与标准重复乘法相比，邮票链在实际应用中的计算节省效果如何？
• RQ5 对于中等规模的 $ k $（如 $ k=24 $），其极值邮票基与邮票链为何种形式？它们如何实现最优性能？

主要发现

• 对于 $ n=20 $，使用极值邮票链 $ \{1,2,3,6,9,10,11\} $，仅需 6 次子集卷积而非 19 次，计算时间减少约三分之二。
• 该方法将乘法次数从 $ n-1 $ 降低至 $ k-1 $，其中 $ k $ 是范围 $ \geq n $ 的邮票链长度，当 $ k \ll n $ 时可实现显著节省。
• 构造出长度为 $ k=24 $ 的极值邮票链，其范围满足 $ \overline{n}(24) \geq 22 $，证明了高效率链的可行性。
• 已知的 $ k \leq 82 $ 且 $ n \leq 2100 $ 的极值邮票基可通过定理 1 转化为可接受的邮票链，从而实现可扩展应用。
• 在贝叶斯聚类中的子集卷积应用表明，仅计算选定的完整卷积并利用 $ v $ 处理其余部分，可将时间复杂度从 $ O(n \cdot 3^N) $ 降低至 $ O(k \cdot 3^N) $，其中 $ k \ll n $。