[论文解读] Addition formula for q-disk polynomials

Paul G. A. Floris|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文利用量子群理论，提出了圆多项式加法公式的q-模拟，推广了Sapiro与Koornwinder的经典结果。通过利用量子群表示，建立了单位圆盘上正交多项式——q-圆多项式——的加法公式，将此前关于Jacobi多项式与圆多项式的成果推广至q-变形情形，在量子代数与特殊函数领域具有应用价值。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to present an addition formula for so-called $q$-disk polynomials, using some quantum group theory. This result is a $q$-analogue of a result which was proved around 1970 by ${\breve{ ext S}}$apiro [S] and Koornwinder [Koo1,2] independently. They considered the homogeneous space $U(n)/U(n-1)$, were $U(n)$ denotes the group of unitary transformations of the vector space $\C^n$, and identified the corresponding zonal spherical functions as disk polynomials, in the terminology of [Koo2]. These are orthogonal polynomials in two variables whose orthogonality measure is supported by the closed unit disk in the complex plane, and which can be expressed in terms of Jacobi polynomials $P_n^{(\a,\b)} (x)$ for certain integer values of the parameters $\a$ and $\b$. The associated spher ical funtions were shown to be also expressible in terms of disk polynomials, and from this an addition formula was proved for (positive) integer values of $\a$ and $\b$. By an easy argument this identity was then extended to all complex values of $\a$ (and from this Koornwinder could even derive an addition formula for general Jacobi polynomials). And in fact the line of arguing and the results in this paper will be very similar to (part of) the ones in [Koo2].

研究动机与目标

• 通过量子群理论，将经典圆多项式加法公式推广至q-变形情形。
• 在齐性空间Uq(n)/Uq(n−1)上建立球函数加法公式的q-模拟。
• 将经典Jacobi多项式与圆多项式的结果推广至其q-模拟对应形式。
• 为复平面上单位圆盘上的正交多项式提供一个量子群理论框架。

提出的方法

• 利用量子群理论，特别是量子酉群Uq(n)，推导加法公式。
• 将表示论技术应用于量子齐性空间Uq(n)/Uq(n−1)。
• 将量子群上的区域球函数识别为q-圆多项式。
• 采用Sapiro与Koornwinder所用经典方法的q-模拟，将其适配至量子框架。
• 依赖于q-圆多项式与q-Jacobi多项式在参数取值上的联系。
• 运用解析延拓论证，将结果从整数参数推广至复参数，与经典理论一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典圆多项式的加法公式推广至q-变形情形？
• RQ2 量子群表示在构造q-正交多项式加法公式中起什么作用？
• RQ3 q-圆多项式如何作为量子齐性空间上的区域球函数出现？
• RQ4 能否将经典圆多项式所用方法适配至量子群框架？
• RQ5 在加法公式语境下，q-圆多项式与q-Jacobi多项式之间存在何种关系？

主要发现

• 本文通过量子群理论推导出圆多项式加法公式的q-模拟。
• 在量子齐性空间Uq(n)/Uq(n−1)上的区域球函数被识别为q-圆多项式。
• 通过量子群表示理论建立了q-圆多项式的加法公式。
• 该结果将Sapiro与Koornwinder的经典加法公式推广至q-变形情形。
• 该方法允许通过解析延拓将公式扩展至复参数，与经典结果一致。
• 该构造证实了q-圆多项式作为单位圆盘上关于q-变形测度的正交多项式的作用。