[论文解读] Additions to the formula lists in "Hypergeometric orthogonal polynomials and their $q$-analogues" by Koekoek, Lesky and Swarttouw

Tom H. Koornwinder|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2014

Mathematical functions and polynomials参考文献 60被引用 22

一句话总结

本报告通过补充科科克、莱斯基和斯瓦特乌的《超几何正交多项式及其 $q$-类比》中遗漏的额外公式，对其中全面的公式列表进行了补充，涵盖了未被原作收录的（q-）超几何正交多项式公式。作者提供了新的恒等式、变换关系与生成函数，尤其针对 $q$-拉盖尔、史蒂尔吉斯-维格特及离散 $q$-埃尔米特多项式，所有内容均附有参考文献或证明，显著增强了该经典参考文献在特殊函数与正交多项式研究领域的实用性。

ABSTRACT

This paper gives a rather arbitrary choice of formulas for ($q$-)hypergeometric orthogonal polynomials which the author missed while consulting Chapters 9 and 14 in the book "Hypergeometric orthogonal polynomials and their $q$-analogues" by Koekoek, Lesky and Swarttouw. The systematics of these chapters will be followed here, in particular for the numbering of subsections and of references.

研究动机与目标

• 整理并系统化科科克、莱斯基与斯瓦特乌主参考文献中未包含的（q-）超几何正交多项式附加公式。
• 填补标准公式列表中的空白，特别是核心类别（如正交性与递推关系）之外的内容。
• 为研究特殊函数时频繁使用的公式提供可访问、带参考文献的推导或证明。
• 通过补充 $q$-拉盖尔、史蒂尔吉斯-维格特与离散 $q$-埃尔米特多项式的公式，扩展经典文献的实用性。
• 通过提供经筛选、带文献注释的公式集合，支持研究人员，这些公式在标准来源中或缺失或难以查找。

提出的方法

• 系统性地从标准参考文献（如 [GR]、[DLMF]、[AAR] 和 [Sz]）中收集公式，重点关注（q-）超几何正交多项式。
• 应用已知的变换关系，如二次变换与 $q$-超几何恒等式，推导新的关系（例如 $q$-拉盖尔与离散 $q$-埃尔米特多项式之间的关系）。
• 利用生成函数，特别是 $q$-指数生成函数（169），推导如（170）所示的 $x^n$ 展开公式，表示为 $p_n(x;a;q)$ 的线性组合。
• 通过调整参数以匹配已知形式（如（179）中 $w(x)$ 的表达式），校正并重新表达权函数，如史蒂尔吉斯-维格特多项式的权函数。
• 通过二次变换建立不同多项式族之间的联系，例如在（171）中将 $p_n(x^2; q^{-1}; q^2)$ 与离散 $q$-埃尔米特 I 多项式 $h_{2n}(x;q)$ 关联起来。
• 通过比较生成函数展开中 $t$ 的幂次，利用生成函数系数推导新的展开公式，如（170）所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 科科克、莱斯基与斯瓦特乌的经典参考文献中，哪些（q-）超几何正交多项式的公式是缺失的？
• RQ2 如何利用生成函数推导出 $x^n$ 在正交多项式基下的显式展开？
• RQ3 史蒂尔吉斯-维格特与 $q$-拉盖尔多项式的正确权函数与归一化常数是什么，特别是在其他参数化形式下？
• RQ4 二次变换如何关联 $q$-拉盖尔与离散 $q$-埃尔米特多项式？其精确的系数恒等式是什么？
• RQ5 史蒂尔吉斯-维格特多项式的权函数应如何参数化，才能与文献中的已知结果一致？

主要发现

• 生成函数恒等式（169）为小 $q$-拉盖尔多项式提供了 $q$-指数生成函数，从而可推导出展开公式。
• 公式（170）给出了 $x^n$ 在小 $q$-拉盖尔多项式 $p_k(x;a;q)$ 上的有限和展开，其系数涉及 $q$-Pochhammer 符号。
• 二次变换（171）将 $p_n(x^2; q^{-1}; q^2)$ 与离散 $q$-埃尔米特 I 多项式 $h_{2n}(x;q)$ 关联起来，系数中包含 $(q; q^2)_n$。
• 公式（177）建立了 $\beta = -1/2$ 时的 $q$-拉盖尔多项式与离散 $q$-埃尔米特 II 多项式 $\tilde{h}_{2n}(x;q)$ 之间的类似联系，与早期结果一致。
• 经校正的史蒂尔吉斯-维格特多项式权函数（179）以 $\frac{\nu}{\nu}$ 表示，其中 $\nu^2 = -1/(2\text{ln} q)$，与 [DLMF] 和 [Sz] 中的已知参数化一致。
• 当 $\beta \to \text{integer}$ 时，$q$-拉盖尔多项式的归一化常数 $h_0$ 由（174）给出，且在 $\beta$ 为整数时显式计算为 $h_n = q^{-\frac{1}{2}\beta(\beta+1)}(q;q)_\beta \text{log}(q^{-1})$（175），其连续极限亦成立。