[论文解读] Additive Chow groups of schemes

Amalendu Krishna, Marc Levine|ArXiv.org|Feb 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为域上光滑射影概形的 Bloch 高阶 Chow 群之上建立了加法 Chow 群的模结构，从而实现射影丛公式与爆破公式。通过 Guillién-Navarro Aznar 方法，将该理论推广至任意有限型概形的具无穷远处对数极点的 Borel-Moore 理论，并在特征零情形下证明了从加法 Chow 群的 1-循环到 Kähler 微分形式的调节映射的满射性。

ABSTRACT

We show how to make the additive Chow groups of Bloch-Esnault, Ruelling and Park into a graded module for Bloch's higher Chow groups, in the case of a smooth projective variety over a field. This yields a a projective bundle formula as well as a blow-up formula for the additive Chow groups of a smooth projective variety. In case the base-field admits resolution of singularieties, these properties allow us to apply the technique of Guille'n and Navarro Aznar to define the additive Chow groups "with log poles at infinity" for an arbitrary finite-type k-scheme X. This theory has the usual properties of a Borel-Moore theory on finite type k-schemes: it is covariantly functorial for projective morphisms, contravariantly functorial for morphisms of smooth schemes, and has a projective bundle formula, homotopy property, Mayer-Vietoris and localization sequences. Finally, we show that the regulator map defined by Park from the additive Chow groups of 1-cycles to the modules of absolute Kaehler differentials of an algebraically closed field of characteristic zero is surjective, giving an evidence of conjectured isomorphism between these two groups.

研究动机与目标

• 为光滑射影概形的 Chow 环之上构造加法 Chow 群的模结构。
• 将加法 Chow 群推广至任意有限型概形的具无穷远处对数极点的 Borel-Moore 理论。
• 为该推广理论建立基础性质，如射影丛公式、同伦不变性及 Mayer-Vietoris 序列。
• 在特征零下证明从加法 Chow 群的 1-循环到绝对 Kähler 微分形式模的调节映射的满射性。
• 通过调节映射为加法 Chow 群与 de Rham-Witt 复形之间猜想的同构关系提供证据。

提出的方法

• 通过 cap 积与外积结构，为光滑射影概形的加法 Chow 群构造 Bloch 高阶 Chow 群上的模作用。
• 应用 Guillién-Navarro Aznar 方法，利用奇点的解析化，将加法 Chow 群推广至有限型概形上的 Borel-Moore 理论。
• 在推广理论中引入光滑拟射影概形之间态射的拉回（Gysin）映射。
• 利用对应作用与射影丛公式，推导推广理论的结构性质。
• 运用 Nesterenko-Suslin-Totaro 同构及映射 η: k ⊗ K₀^M(k) → Ω^*ₖ，将加法 Chow 群与 Kähler 微分形式联系起来。
• 应用移动引理与局部化技巧，验证推广理论中的函子性与正合序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为光滑射影概形的加法高阶 Chow 群赋予其 Chow 环上的模结构？
• RQ2 具无穷远处对数极点的加法 Chow 群推广理论是否满足有限型概形上 Borel-Moore 上同调理论的公理？
• RQ3 在特征零下，从加法 Chow 群的 1-循环到绝对 Kähler 微分形式模的调节映射是否为满射？
• RQ4 K-理论的 Atiyah-Hirzebruch 族谱序列能否推广至包含模数与对数极点的情形？
• RQ5 在存在模数的情况下，加法 Chow 群与 de Rham-Witt 复形之间存在何种关系？

主要发现

• 光滑射影概形的加法 Chow 群在其 Chow 环上具有模结构，从而实现射影丛公式与爆破公式。
• 对于允许奇点解析化的域，所有有限型概形的具无穷远处对数极点的加法 Chow 群均被定义，并满足所有标准 Borel-Moore 性质。
• 在特征零的代数闭域下，从加法 Chow 群的 1-循环到 Ω¹ₖ 的调节映射是满射。
• 复合映射 R^{n+3}_{1,m} ∘ μ 等于 (−1)^n ⋅ η ∘ S^{n}_{1,m}，在 CH^n(k,n) ⊗ TCH^2(k,3;m) 上成立，确立了与 Kähler 微分形式的关键相容性。
• 在代数闭域情形下，R^3_{1,m}(Γ) ≠ 0 意味着调节映射在度数 1 上为满射。
• 该理论支持一个猜想的含模数与对数极点的 Atiyah-Hirzebruch 族谱序列，扩展了经典框架。