[论文解读] Additive Complexity and the Roots of Polynomials Over Number Fields and p-adic Fields

J. Maurice Rojas|ArXiv.org|Jan 16, 2002

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文利用加法复杂度作为输入规模的度量，建立了数域和p进域上单变量多项式几何孤立根数的新上界。证明了有理根的数量至多为 $15 + \sigma(f)^2(24.01)^{\sigma(f)}\sigma(f)!$，显著改进了基于加法复杂度的先前界限，并推广至多变量系统和有限扩张。

ABSTRACT

Consider any nonzero univariate polynomial with rational coefficients, presented as an elementary algebraic expression (using only integer exponents). Letting sigma(f) denotes the additive complexity of f, we show that the number of rational roots of f is no more than 15 + sigma(f)^2 (24.01)^{sigma(f)} sigma(f)!. This provides a sharper arithmetic analogue of earlier results of Dima Grigoriev and Jean-Jacques Risler, which gave a bound of C^{sigma(f)^2} for the number of real roots of f, for some constant C with 1

研究动机与目标

• 开发数域和p进域上多项式算术少项式理论的有效类比。
• 使用加法复杂度作为复杂度度量，界定单变量和多变量多项式系统的几何孤立根数量。
• 将Lenstra和Grigoriev-Risler的现有界限扩展至优于单项式展开的更高效编码形式。
• 提供仅依赖于加法复杂度的根数定量上界，而不依赖于次数或系数大小。

提出的方法

• 将加法复杂度 $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ 定义为在域 $\mathcal{L}$ 上，通过嵌套代数表达式表示多项式 $f$ 所需的最少加法和乘法次数。
• 通过中间变量 $X_i$ 的递归构造多项式表达式，其中每个 $X_i$ 由早期变量的乘积的线性组合构成。
• 应用Khovanski的少项式定理的算术类比，以界定p进域和数域中的根数。
• 将多变量根计数问题转化为在 $n+s$ 个变量的变换系统中计数孤立根的问题，其中 $s = \sigma_{\mathcal{L}}(F)$。
• 采用对形如 $\varepsilon_i X_{n+i} = \text{线性组合的乘积}$ 的系统进行递归计数策略，其中 $\varepsilon_i \in \{0,1\}$，以枚举孤立根。
• 利用 $B(\mathcal{L}, m, N)$ 和 $A(\mathcal{L}, \delta, m, N)$ 的界，推导出以 $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ 表示的根数的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过加法复杂度来界定 $p$-进域或数域上单变量多项式几何孤立根的数量？
• RQ2 加法复杂度在算术设定下与根数的关系如何，类比于实数域上的少项式理论？
• RQ3 以加法复杂度表示的有理根数的最紧致上界是什么？与先前界限相比如何？
• RQ4 这些界限能否推广至多变量多项式系统和 $\mathbb{Q}_p$ 或 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张？

主要发现

• 对于有理系数的非零单变量多项式 $f$，其有理根的数量至多为 $15 + \sigma(f)^2(24.01)^{\sigma(f)}\sigma(f)!$，提供了实数少项式界在算术上的精确类比。
• 对于 $\mathbb{Q}_p$ 的任意次数 $d$ 的扩张 $\mathcal{L}$，$\mathcal{L}$ 中的根数被界为 $2^{O(\sigma_{\mathcal{L}}(f) \log(p^d \sigma_{\mathcal{L}}(f)))}$，并给出了包含 $p$、$d$ 和 $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ 的显式公式。
• 当 $\mathcal{L} = \mathbb{Q}_2$ 时，$\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ 分别为 $0$、$1$、$2$、$3$ 或 $4$ 时，根界的值为 $1$、$3$、$35$、$50195$ 和 $6471489$。
• 结果可推广至多变量系统：$\mathcal{L}^{n+s}$ 中几何孤立根的数量被一个包含二项式系数和 $B(\mathcal{L}, m, N)$ 的递归界之和所界定。
• 该界对数域上有限次数的根也成立，且该方法适用于任何存在多变量Descartes法则类比的域。
• 证明表明，通过改进 $B(\mathcal{L}, m, N)$ 和 $A(\mathcal{L}, \delta, m, N)$ 的界，可以获得更紧致的上界，提示了未来改进的路径。