[论文解读] Additive continuity of the renormalized volume under geometric limits

Franco Vargas Pallete|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在几何极限下建立了双曲3-流形的重整化体积的加法连续性，证明当几何极限由弗uchsian或无筒状（acylindrical）分量组成且其凸核心全为全测地时，重整化体积的下确界被精确实现。主要结果表明，极限流形的重整化体积等于其各分量重整化体积之和，推广了连续性结果，并刻画了收敛至下确界序列的性质。

ABSTRACT

We study the infimum of the renormalized volume for convex-cocompact hyperbolic manifolds, as well as describing how a sequence converging to such values behaves. In particular, we show that the renormalized volume is continuous under the appropriate notion of limit. This result generalizes previous work in the subject.

研究动机与目标

• 刻画具有不可压缩边界的凸-共形双曲3-流形的重整化体积的下确界。
• 描述当此类流形序列的重整化体积趋近于下确界时的行为。
• 定义适当的几何收敛概念——加法几何收敛——在此概念下重整化体积是连续的。
• 证明任何收敛至下确界极限的序列，必收敛至一个其凸核心为全测地的流形，即重整化体积的临界点。

提出的方法

• 引入加法几何收敛的概念，以描述具有有界凸核心体积的凸-共形双曲流形序列的极限。
• 利用狄利克雷基本多面体及其相对于球面的通用性来分析几何极限。
• 应用德恩填充论证与埃普斯坦曲面构造，通过公式 $ V_R(N_i) = \frac{v_3}{2}\|DN_i\| $ 将重整化体积与格罗莫夫范数关联。
• 采用克莱因-马斯基特组合与广义双曲德恩填充，构造收敛至极限分量的序列。
• 将 [GMR] 的经典连续性论证适配至新收敛概念，证明重整化体积的极限等于各分量体积之和。
• 综合所有分量，证明仅当极限流形的凸核心为全测地时，下确界才被实现，从而刻画了重整化体积的临界点。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有不可压缩边界的凸-共形双曲3-流形的重整化体积的下确界值是多少？
• RQ2 当此类流形序列的重整化体积趋近于下确界时，其行为如何？
• RQ3 在何种几何收敛概念下，重整化体积是连续的？
• RQ4 在何种条件下，最小化序列的极限是重整化体积的临界点？
• RQ5 极限流形的重整化体积能否表示为各分量体积之和？

主要发现

• 具有不可压缩边界的凸-共形双曲3-流形的重整化体积的下确界被实现，当且仅当其几何极限的凸核心为全测地。
• 任何收敛至下确界的凸-共形双曲流形序列，必几何收敛至一个其凸核心为全测地的流形。
• 在新的加法几何收敛概念下，重整化体积具有可加性：极限体积等于各分量流形体积之和。
• 对于拟弗uchsian流形，重整化体积非负，且当且仅当流形为弗uchsian时体积为零。
• 在无筒状情形下，任意最小化序列几何收敛至唯一一个具有全测地凸核心的弗uchsian度量。
• 极限分量为有限体积双曲流形（来自无筒状部分）或塞芬纤维化流形（来自弗uchsian部分），其体积贡献通过公式 $ V_R(N_i) = \frac{v_3}{2}\|DN_i\| $ 与格罗莫夫范数相关。