[论文解读] Additive energy forward curves in a Heath-Jarrow-Morton framework

Fred Espen Benth, Marco Piccirilli+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于加法均值回归动态的多商品能源远期市场HJM框架，用于建模远期与互换价格。该框架在涉及埃舍尔型密度与随机Girsanov核的广义测度变换下，建立了随机指数为鞅的必要且充分条件，从而实现无套利定价，并能显式刻画跨商品协整关系与广义Lucia-Schwartz动态。

ABSTRACT

One of the peculiarities of power and gas markets is the delivery mechanism of forward contracts. The seller of a futures contract commits to deliver, say, power, over a certain period, while the classical forward is a financial agreement settled on a maturity date. Our purpose is to design a Heath-Jarrow-Morton framework for an additive, mean-reverting, multicommodity market consisting of forward contracts of any delivery period. The main assumption is that forward prices can be represented as affine functions of a universal source of randomness. This allows us to completely characterize the models which prevent arbitrage opportunities: this boils down to finding a density between a risk-neutral measure $\mathbb{Q}$, such that the prices of traded assets like forward contracts are true $\mathbb{Q}$-martingales, and the real world probability measure $\mathbb{P}$, under which forward prices are mean-reverting. The Girsanov kernel for such a transformation turns out to be stochastic and unbounded in the diffusion part, while in the jump part the Girsanov kernel must be deterministic and bounded: thus, in this respect, we prove two results on the martingale property of stochastic exponentials. The first allows to validate measure changes made of two components: an Esscher-type density and a Girsanov transform with stochastic and unbounded kernel. The second uses a different approach and works for the case of continuous density. We apply this framework to two models: a generalized Lucia-Schwartz model and a cross-commodity cointegrated market.

研究动机与目标

• 开发一种适用于多商品能源远期与互换市场的可处理、无套利HJM框架，其动态为加法形式且具有均值回归特性。
• 解决从物理测度𝕄过渡到风险中性测度ℚ的挑战，使得远期价格在ℚ下为鞅，即使在𝕄下存在均值回归。
• 提供一个统一模型，既能捕捉远期合约，也能处理交割期互换（如电力与天然气），同时保持马氏性与分布可处理性。
• 推广现有模型（如Lucia-Schwartz模型），并将其扩展至多商品、协整设定。
• 建立在复杂、无界的测度变换（包含埃舍尔与Girsanov两部分）下，随机指数保持为鞅的严格条件。

提出的方法

• 在物理测度𝕄下，将远期与互换价格建模为通用随机源的仿射函数，以确保均值回归与可处理性。
• 采用双组件测度变换：埃舍尔型密度与具有随机、无界核的Girsanov变换，以定义风险中性测度ℚ。
• 通过弱诺维科夫型条件推导随机指数的鞅性质，利用级数表示与矩界估计。
• 运用Gronwall引理与伊tô等距性控制状态过程的二阶矩，确保在ℚ下的可积性。
• 通过将标准公式扩展至时变参数的加法动态，构建广义Lucia-Schwartz模型。
• 通过施加跨市场参数约束，构建协整多商品模型，以保持无套利与均值回归特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结合埃舍尔型密度与随机、无界Girsanov核的测度变换下，随机过程的随机指数在何种条件下是真正的鞅？
• RQ2 如何构建一个适用于加法均值回归远期曲线的HJM框架，使其能同时容纳远期合约与交割期互换？
• RQ3 存在风险中性测度ℚ的必要且充分条件是什么，使得远期价格在ℚ下为鞅，同时在物理测度𝕄下仍保持均值回归？
• RQ4 如何设计一个多商品能源市场模型，以保持电力与天然气等不同商品之间的协整关系与无套利关系？
• RQ5 广义Lucia-Schwartz模型能否被嵌入一个严格的HJM框架中，以同时保证可处理性与无套利性？

主要发现

• 本文证明了一个弱诺维科夫型条件，足以保证在结合埃舍尔型密度与随机、无界Girsanov核的测度变换下，随机指数为鞅。
• 若可找到一个时间区间序列，使得该区间内平方波动率过程的积分具有有限的指数矩，则鞅性质成立。
• 该模型框架允许在加法均值回归过程下，显式构造无套利远期与互换价格动态，且其依赖于共同因子的仿射结构。
• 广义Lucia-Schwartz模型作为所提HJM框架的特例被恢复，从而将其适用性扩展至多商品与交割期设定。
• 通过施加参数约束，构建了协整多商品模型，以确保市场间长期均衡关系，同时保持无套利与均值回归特性。
• 证明技术依赖于Gronwall引理的矩界估计与高斯矩估计，确保了指数级数表示的可积性与收敛性。