[论文解读] Additive Models for Symmetric Positive-Definite Matrices, Riemannian Manifolds and Lie groups

Zhenhua Lin, Hans‐Georg Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2020

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的加法回归模型，用于对称正定（SPD）矩阵响应变量，利用黎曼流形结构，特别借助对数-柯列斯基度量和对数-欧几里得度量，将非线性的SPD空间转换为线性切空间。该方法通过平滑后向拟合实现高效估计，组件函数估计的最优收敛速率为 $O_P(n^{-4/5})$，并建立了渐近正态性，显著优于高维预测变量设置下的完整非参数方法。

ABSTRACT

In this paper an additive regression model for a symmetric positive-definite matrix valued response and multiple scalar predictors is proposed. The model exploits the abelian group structure inherited from either the Log-Cholesky metric or the Log-Euclidean framework that turns the space of symmetric positive-definite matrices into a Riemannian manifold and further a bi-invariant Lie group. The additive model for responses in the space of symmetric positive-definite matrices with either of these metrics is shown to connect to an additive model on a tangent space. This connection not only entails an efficient algorithm to estimate the component functions but also allows to generalize the proposed additive model to general Riemannian manifolds that might not have a Lie group structure. Optimal asymptotic convergence rates and normality of the estimated component functions are also established. Numerical studies show that the proposed model enjoys superior numerical performance, especially when there are multiple predictors. The practical merits of the proposed model are demonstrated by analyzing diffusion tensor brain imaging data.

研究动机与目标

• 解决在高维预测变量设置下，对称正定（SPD）矩阵响应变量缺乏加法回归模型的问题。
• 克服全非参数回归方法（如局部多项式回归）在SPD数据中固有的维度灾难问题。
• 建立一个理论基础坚实的框架，通过黎曼几何将SPD值加法模型与切空间上的加法模型联系起来。
• 通过利用度量和群结构，将所提模型推广至超出李群的更广泛的黎曼流形。
• 通过在扩散张量成像（DTI）数据上的应用，展示其实际应用价值，特别是在神经科学领域。

提出的方法

• 利用对数-柯列斯基或对数-欧几里得度量，将SPD流形映射为具有阿贝尔群和双不变李群结构的黎曼流形。
• 通过对数映射将SPD值响应变量转换到均值矩阵处的切空间，实现在线性空间中的加法建模。
• 在变换后的切空间响应上使用平滑后向拟合估计加法分量函数，并通过约束确保可识别性。
• 使用平行移动将估计函数映射回原始流形，保持几何一致性。
• 借鉴Jeon和Park（2020）提出的希尔伯特空间值加法模型框架，将其适配至黎曼流形的切空间。
• 利用函数中心极限定理发展渐近理论，基于设计和误差结构的正则性条件推导收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在避免维度灾难的前提下，有效将加法回归扩展至对称正定矩阵响应变量？
• RQ2 如何利用SPD流形的几何结构——特别是其黎曼几何与李群性质——以实现高效、非参数估计？
• RQ3 在此设置下，估计分量函数的最优收敛速率与渐近分布性质为何？
• RQ4 所提方法能否推广至缺乏李群结构的任意黎曼流形？
• RQ5 与现有非参数回归方法相比，该模型在真实世界神经影像数据上的实际表现如何？

主要发现

• 所提加法模型在对数-柯列斯基或对数-欧几里得度量下，对分量函数估计实现了最优收敛速率 $O_P(n^{-4/5})$。
• 模型确保了估计分量函数的渐近正态性，且在适当的带宽缩放下，联合收敛于多元正态分布。
• 在高维预测变量设置下，该方法优于全非参数回归，尤其在存在多个预测变量时表现更优。
• 通过对数映射将数据转换至切空间，实现了高效的平滑后向拟合，降低了计算复杂度并提升了数值稳定性。
• 通过利用切空间的连接关系，理论保证被扩展至一般黎曼流形，即使在缺乏李群结构的情况下亦成立。
• 数值研究及对阿尔茨海默病神经影像计划（ADNI）DTI数据的应用证实了其优越性能与在神经科学应用中的实际相关性。