[论文解读] Additive Subtraction Games

Urban Larsson, Hikaru Manabe|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 0

一句话总结

该论文给出在原始二次范式下可加性减法游戏的完整nim值结构，给出一个闭式分区将nim值分为四个类别，并给出一个δ碰撞计数框架来解释P-位置。

ABSTRACT

We determine the full nim-value structure of additive subtraction games in the {\em primitive quadratic} regime. The problem appears in Winning Ways by Berlekamp et al. in 1982; it includes a closed formula, involving Beatty-type {\em bracket expressions} on rational moduli, for determining the P-positions, but to the best of our knowledge, a complete proof of this claim has not yet appeared in the literature; Miklós and Post (2024) established outcome-periodicity, but without reference to that closed formula. The primitive quadratic case captures the source of the quadratic complexity of the problem, a claim supported by recent research in the dual setting of sink subtraction with Bhagat et al. This study focuses on a number theoretic solution involving the classical closed formula, and we establish that each nim-value sequence resides on a linear shift of the classical P-positions.

研究动机与目标

• 推动对可加性减法游戏的研究并辨识表征nim值的核心挑战。
• 给出P-位置的闭式描述以及在原始二次范式下nim值的完整分区。
• 证明每个nim值序列是经典P-位置集合的线性移位，并确立完整的四类分区。

提出的方法

• 用S = {a, b, a+b}来建模游戏，其中0 < a < b且 b = a + δ 。
• 在原始二次范式 a < δ < 2a、且 gcd(a, δ) = 1 的条件下工作。
• 定义 w_n = n + a floor(n/a) + b floor(n/δ) 并使用其平移集合将nim值分类为 W0、W1 = W0 + a、W2 = W0 − b、W3 = (W0 − δ) \ W0。
• 证明 W0 的反碰撞，应用 Ferguson 配对得出 nim 值为 1，并利用可达性和碰撞计数论证得到 nim 值为 2 和 3。
• 推导 δ-碰撞计数定理，表明每个堆周期恰有 ad 次碰撞，与密度和周期结果相联系。
• 通过三项括号表达的密度结构分析以及剩余类论证，给出四个分区类别的详细结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在原始二次范式下，当 S = {a, b, a+b} 时，可加性减法的完整nim值分区是什么？
• RQ2 P-位置（nim值为0）如何与基本P-位置集合 W0 的平移副本相关？
• RQ3 四个nim值类别（0、1、2、3）的密度和周期长度分别是多少？
• RQ4 在一个堆周期内有多少 δ-碰撞，如何决定nim值为3的位置？
• RQ5 是否可以通过括号表达和剩余类分析来描述完整的nim值结构？

主要发现

Heap size	Nim-value
0	0
1	0
2	1
3	1
4	0
5	2
6	1
7	3
8	2
9	2
10	0
11	3

• 四个nim值类别 W0、W1、W2、W3 将自然数分区，其中 W0、W1、W2 是P-位置的简单仿射平移，W3 含有 nim 值为3的位置。
• 在原始二次范式 a < δ < 2a、gcd(a, δ) = 1、b = a + δ 的条件下，nim 值是完全确定的；分区对应P-位置的线性移位结构。
• 堆周期为 h = (3δ + a)a，W0、W1、W2 的密度为 δ/(3δ + a)，W3 的密度为 a/(3δ + a)。
• δ-碰撞计数结果表明在一个指标周期内存在 ad 次碰撞，这支撑了 nim 值为3 位置的精确计数。
• 分析利用间隙规律性、剩余置换以及括号表达方法，揭示潜在的数论机制。