[论文解读] Additively irreducible sequences in commutative semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2015

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了交换幺半群中的可加不可约序列，将 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 定义为和为给定元素 $a$ 的此类序列的最大长度。当从 $a$ 出发的主理想满足升链条件时，本文建立了 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 为有限的必要与充分条件，给出了精确的上下界，并将结果应用于有限交换酉环，特别是主理想环。

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a commutative semigroup, and let $T$ be a sequence of terms from the semigroup $\mathcal{S}$. We call $T$ an (additively) {\sl irreducible} sequence provided that no sum of its some terms vanishes. Given any element $a$ of $\mathcal{S}$, let ${ m D}_a(\mathcal{S})$ be the largest length of the irreducible sequence such that the sum of all terms from the sequence is equal to $a$. In case that any ascending chain of principal ideals starting from the ideal $(a)$ terminates in $\mathcal{S}$, we found the sufficient and necessary conditions of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ being finite, and in particular, we gave sharp lower and upper bounds of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ in case ${ m D}_a(\mathcal{S})$ is finite. We also applied the result to commutative unitary rings. As a special case, the value of ${ m D}_a(\mathcal{S})$ was determined when $\mathcal{S}$ is the multiplicative semigroup of any finite commutative principal ideal unitary ring.

研究动机与目标

• 定义并刻画交换幺半群中的可加不可约序列，即不存在真子序列其和等于整个序列和的序列。
• 研究 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$（即和为固定元素 $a$ 的不可约序列的最大长度）的有限性。
• 在从 $a$ 出发的主理想满足升链条件的假设下，建立 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 为有限的充分必要条件。
• 当 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 为有限时，推导其精确的上下界。
• 将结果应用于有限交换酉环，特别是确定有限交换主理想环的乘法幺半群中 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 的值。

提出的方法

• 将 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 定义为在交换幺半群 $\mathcal{S}$ 中，其和 $\sigma(T) = a$ 的不可约序列 $T$ 的最大长度。
• 引入与 $a$ 附近幺半群结构相关的群 $\Gamma(H_a)$，并利用 Schützenberger 群构造来分析不可约性。
• 利用 $\Psi(a)$（即与 $a$ 关联的理想 $\mathfrak{a}$ 的最小生成元个数）来界定 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$。
• 通过将 $\Gamma(H_a)$ 中的零和自由序列与 $a$ 的最小生成序列组合，构造显式的不可约序列，确保不存在真子序列其和等于 $\sigma(T)$。
• 利用诺特幺半群与主理想环的结构理论，推导出有限性与上下界。
• 利用有限交换群中 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 与 Davenport 常数 $\mathrm{D}(G)$ 之间的对偶性，将结果推广至环。

实验结果

研究问题

• RQ1 在交换幺半群 $\mathcal{S}$ 中，给定元素 $a$，在何种条件下 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 为有限？
• RQ2 当 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 为有限时，其精确的上下界是什么？
• RQ3 在 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 有限时，其与幺半群结构（特别是 Schützenberger 群 $H_a$ 的有限性）有何关系？
• RQ4 能否显式计算有限交换主理想酉环的乘法幺半群中 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 的值？
• RQ5 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 与有限交换群中的 Davenport 常数 $\mathrm{D}(G)$ 之间存在何种关系？

主要发现

• $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 为有限当且仅当 Schützenberger 群 $H_a$ 为有限，前提是所有从 $a$ 出发的主理想升链均终止。
• 当 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 为有限时，其满足精确的上下界：$\mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a) \leq \mathrm{D}_a(\mathcal{S}) \leq \mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a)$，其中 $\mathrm{D}^*(G)$ 表示群 $G$ 的 Davenport 常数。
• 对于有限交换主理想酉环 $R$ 的乘法幺半群 $\mathcal{S}_R$，$\mathrm{D}_a(\mathcal{S}_R)$ 的值被完全确定，且等于 $\mathrm{D}^*(\Gamma(H_a)) - 1 + \Psi(a)$。
• $\mathrm{D}_a(\mathcal{S})$ 的有限性并不要求 $\Psi(a)$ 为有限，反例表明即使 $\Psi(a)$ 为无穷，仍可能有 $\mathrm{D}_a(\mathcal{S}) \leq n$。
• 在任意交换幺半群 $\mathcal{S}$ 中，$\mathrm{D}(\mathcal{S})$ 为有限当且仅当 $\mathrm{d}(\mathcal{S})$ 为有限，此时有 $\mathrm{D}(\mathcal{S}) = \mathrm{d}(\mathcal{S}) + 1$。
• 对于交换诺特幺半群 $\mathcal{S}$，$\mathrm{D}(\mathcal{S})$ 为有限当且仅当对所有 $a \in \mathcal{S}$，$H_a$ 的大小在所有 $a$ 上有统一的上界。