[论文解读] Additivity and Double Coset formulae for the Motivic and Étale Becker-Gottlieb transfer

Roy Joshua⋆, Pablo Pelaez|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文建立了 motivic 和 étale Becker-Gottlieb 转移及其相关迹的可加性，证明了在 motivic 同伦论中具有基础性作用的性质。它解决了关于 Grothendieck-Witt 环中 G/N(T) 的欧拉示性数的长期猜想，并推导出经典双陪集公式在 motivic 和 étale 设置下的类比，其应用涉及在分离闭域上齐次空间的 Brauer 群。

ABSTRACT

In this paper, which is a continuation of earlier work by the first author and Gunnar Carlsson, one of the first results we establish is the additivity of the motivic Becker-Gottlieb transfer, as well as their étale realizations. This extends the additivity results the authors already established for the corresponding traces. We then apply this to derive several important consequences: for example, in addition to obtaining the analogues of various double coset formulae known in the classical setting of algebraic topology, we also obtain applications to Brauer groups of homogeneous spaces associated to reductive groups over separably closed fields. We also consider the relationship between the transfer on schemes provided with a compatible action by a $1$-parameter subgroup and the transfer associated to the fixed point scheme of the $1$-parameter subgroup.

研究动机与目标

• 在任意特征的完美域上的代数几何背景下，建立 motivic 和 étale Becker-Gottlieb 转移及其相关迹的可加性。
• 解决关于分裂半单代数群 G 及其极大环面正规化子 N(T) 的 G/N(T) 的欧拉示性数在 Grothendieck-Witt 环中为 1 的猜想。
• 为半单群作用的 motivic 和 étale 设置推导出经典双陪集公式的类比。
• 探讨具有 1-参数子群作用的概形上的转移与固定点概形上转移之间的关系。
• 将这些结果应用于计算在分离闭域上与半单群相关的齐次空间的 Brauer 群。

提出的方法

• 利用 G-等变谱和非等变谱，通过预转移映射和 Borel 构造的修改来定义 motivic 和 étale Becker-Gottlieb 转移。
• 应用 [CJ19] 的框架，将 motivic 环谱（如 Σ_T 及其局部化/完备化）上移至等变谱。
• 采用迹映射构造，将转移与广义等变 motivic 上同调理论联系起来。
• 通过分析群包含下转移映射的复合，并利用分类空间上的滤子论证，推导出双陪集公式。
• 通过谱序列和余极限论证，应用迹和转移的可加性，计算出 Grothendieck-Witt 环中 G/N(T) 的欧拉示性数。
• 利用投影映射 f_{n-j,j} 及其与分类空间包含映射的复合，证明总映射弱同伦等价于截断分类空间的楔和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意特征的完美域上，motivic Becker-Gottlieb 转移在 motivic 和 étale 设置下是否可加？
• RQ2 对于分裂半单代数群 G 及其极大环面正规化子 N(T)，G/N(T) 的欧拉示性数在 Grothendieck-Witt 环中是否等于 1？
• RQ3 能否将经典代数拓扑中的转移双陪集公式推广至 motivic 和 étale 环境？
• RQ4 具有 1-参数子群作用的概形上的转移与固定点概形上的转移有何关系？
• RQ5 转移和迹的可加性对分离闭域上齐次空间的 Brauer 群有何影响？

主要发现

• 在任意特征的完美域上的稳定 motivic 同伦范畴中，motivic 和 étale Becker-Gottlieb 转移及其相关迹均为可加的。
• 对于分裂半单代数群 G 及其极大环面正规化子 N(T)，G/N(T) 的欧拉示性数在 Grothendieck-Witt 环中被证明为 1。
• 在 motivic 和 étale 设置下建立了经典双陪集公式的类比，扩展了经典代数拓扑中的结果。
• 映射 f_{n-j,j} 与 BGL_j 嵌入 BGL_n 的复合，诱导出截断分类空间楔和中第 j 个分量的投影。
• 映射 Π_{0≤j≤n} f_{n-j,j} : Σ_T BGL_{n,+} → ⋁_{0≤j≤n} Σ_T BGL_{j,+} 是弱同伦等价，确认了 motivic 谱的滤子结构。
• 通过同伦余极限将结果推广至无限情形，étale 版本通过类似推理完成，从而在两种设置下完成证明。