[论文解读] Additivity numbers of covering properties

Boaz Tsaban|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文研究了可分、度量、零维空间中拓扑覆盖性质的可加性数——特别关注Menger、Hurewicz和Rothberger等选择原则。通过在Baire空间（与无理数同胚）上使用组合方法，利用著名的基数不变量$\nabla$, $\nabla$, $\nabla$, 和 $\nabla$，确定了可加性数的精确值或界限，解决了若干开放问题并建立了新的一致性结果。

ABSTRACT

The_additivity_number_ of a topological property (relative to a given space) is the minimal number of subspaces with this property whose union does not have the property. The most well-known case is where this number is greater than Aleph_0, i.e. the property is sigma-additive. We give a rather complete survey of the known results about the additivity numbers of a variety of topological covering properties, including those appearing in the Scheepers diagram (which contains, among others, the classical properties of Menger, Hurewicz, Rothberger, and Gerlits-Nagy). Some of the results proved here were not published beforehand, and many open problems are posed.

研究动机与目标

• 确定可分、度量、零维空间中各种拓扑覆盖性质的精确可加性数。
• 在Baire空间（与无理数同胚）上应用组合方法，分析选择原则的可加性行为。
• 解决关于$\nabla$-可加性和$\nabla$-可加性等性质（如${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$、${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 和 ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$）的开放问题。
• 利用$\nabla$、$\nabla$、$\nabla$ 和 $\nabla$ 等基数不变量，建立可加性数的界限和一致性结果。
• 研究如${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$、${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 和 ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 等性质的可证明或一致可加性。

提出的方法

• 本文将一般可分、度量、零维空间的分析简化为Baire空间$\nabla\setminus\nabla$，利用其与无理数的同胚关系。
• 它采用选择原则${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$、${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 和 ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$，通过覆盖序列及其选择来刻画覆盖性质。
• 可加性数被定义为具有该性质的子空间族的最小基数，其并集不具有该性质；并利用$\nabla$、$\nabla$、$\nabla$ 和 $\nabla$ 等基数不变量进行分析。
• 本文使用力迫和模型论技术建立一致性结果，特别是涉及$P$-点和超滤子的存在性。
• 它应用简单$P$-点基和伪交集的概念，分析分裂性质（如${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$）的可加性。
• 分析依赖于集合族的拓扑性质与组合性质之间的等价性，特别是在Scheepers图及其扩展的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Scheepers图的背景下，性质${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数的确切值是什么？
• RQ2 ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 性质是否可证明为$\nabla$-可加的，还是仅在一致意义下成立？
• RQ3 ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数能否优于$\nabla$ 的下界？
• RQ4 ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数与基数$\nabla$ 之间有何关系？
• RQ5 是否存在一致模型使得${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$ 是可加的？这对等价式${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla) = {\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$ 暗示了什么？

主要发现

• ${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数恰好为$\nabla$，且当且仅当${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla) = {\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$ 时为$\nabla$-可加。
• ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数恰好为$\nabla$，且可证明为$\nabla$-可加。
• ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数恰好为$\nabla$，且可证明为$\nabla$-可加。
• ${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数恰好为$\nabla$，且当且仅当${\nabla}_{1}(\nabla,\nabla) = {\nabla}_{1}(\nabla,\nabla)$ 时为$\nabla$-可加。
• ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数恰好为$\nabla$，且可证明为$\nabla$-可加。
• ${\nabla}_{\nabla}(\nabla,\nabla)$ 的可加性数恰好为$\nabla$，且可证明为$\nabla$-可加。