[论文解读] Additivity of higher rho invariants and nonrigidity of topological manifolds

Shmuel Weinberger, Zhizhang Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 75被引用 17

一句话总结

本文建立了维度 ≥5 的拓扑流形上高阶 rho 不变量的可加性，证明其构成从拓扑结构群到几何 C*-代数的 K-理论群的群同态。关键贡献在于利用该可加性，基于基本群中的挠元，推导出代数约化结构群的自由秩的下界，并通过一种新的同调高阶 rho 不变量，证明了某些流形的结构群不是有限生成的。

ABSTRACT

Let $X$ be a closed oriented connected topological manifold of dimension $n\geq 5$. The structure group of $X$ is the abelian group of equivalence classes of all pairs $(f, M)$ such that $M$ is a closed oriented manifold and $f\colon M o X$ is an orientation-preserving homotopy equivalence. The main purpose of this article is to prove that a higher rho invariant defines a group homomorphism from the topological structure group of $X$ to the $C^*$-algebraic structure group of $X$. In fact, we introduce a higher rho invariant map on the homology manifold structure group of a closed oriented connected $ extit{topological}$ manifold, and prove its additivity. This higher rho invariant map restricts to the higher rho invariant map on the topological structure group. More generally, the same techniques developed in this paper can be applied to define a higher rho invariant map on the homology manifold structure group of a closed oriented connected $ extit{homology}$ manifold. As an application, we use the additivity of the higher rho invariant map to study non-rigidity of topological manifolds. More precisely, we give a lower bound for the free rank of the $ extit{algebraically reduced}$ structure group of $X$ by the number of torsion elements in $π_1 X$. Here the algebraic reduced structure group of $X$ is the quotient of the topological structure group of $X$ modulo a certain action of self-homotopy equivalences of $X$. We also introduce a notion of homological higher rho invariant, which can be used to detect many elements in the structure group of a closed oriented topological manifold, even when the fundamental group of the manifold is torsion free. In particular, we apply this homological higher rho invariant to show that the structure group is not finitely generated for a class of manifolds.

研究动机与目标

• 建立闭合定向拓扑流形（维度 ≥5）的拓扑结构群上高阶 rho 不变量的可加性。
• 在同调流形结构群上定义高阶 rho 不变量映射，推广拓扑情形。
• 利用高阶 rho 不变量的可加性，通过代数约化结构群的自由秩下界来检测拓扑流形的非刚性。
• 引入一种同调高阶 rho 不变量，即使在基本群无挠的情形下，也能检测结构群中的非平凡元素。
• 通过同调高阶 rho 不变量证明，某些流形的结构群不是有限生成的。

提出的方法

• 将高阶 rho 不变量定义为来自签名算子在带相反定向的流形不交并上的平凡化高阶指标类的二级指标理论不变量。
• 构造从拓扑结构群 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$ 到 K-理论群 $K_n(C^*_L,0(\widetilde{X})^\Gamma)$ 的群同态，其中 $\widetilde{X}$ 为万有覆盖，$\Gamma = \pi_1X$。
• 利用几何 C*-代数与周期化映射 $\mathcal{GP}$，通过可逆算子与同伦不变性，将结构群与 K-理论类联系起来。
• 应用周期化空间的技巧，证明几何周期化映射 $\mathcal{GP}$ 与经典 Siebenmann 周期化映射 $\mathcal{SP}$ 一致，从而确保结构群的群结构一致性。
• 在相同框架下，将方法应用于同调流形，定义一种同调高阶 rho 不变量，从而在标准不变量无法探测的范围内检测结构群中的元素。
• 通过归一化函数与对称性构造可逆算子的路径，以表示 $K$-理论类 $\rho(\theta \times \mathbb{R}^2)$，并证明其等于 $\tau_*(\rho(\theta) \otimes \text{Ind}_L(\mathbb{R}^2))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶 rho 不变量是否在闭合定向拓扑流形 $X$（维度 ≥5）的拓扑结构群 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$ 上定义为群同态？
• RQ2 高阶 rho 不变量能否扩展至同调流形结构群？在该设定下是否仍具有可加性？
• RQ3 能否利用高阶 rho 不变量与 $\pi_1X$ 中的挠元，为代数约化结构群的自由秩建立下界？
• RQ4 当 $\pi_1X$ 无挠时，同调高阶 rho 不变量能否检测到结构群中的非平凡元素？
• RQ5 某些拓扑流形的结构群是否不是有限生成的？能否通过同调高阶 rho 不变量检测到这一点？

主要发现

• 高阶 rho 不变量定义了从 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$ 到 $K_n(C^*_L,0(\widetilde{X})^\Gamma)$ 的群同态，确立了其可加性。
• 高阶 rho 不变量映射在拓扑结构群上限制为标准高阶 rho 不变量，其定义域被推广至同调流形。
• 代数约化结构群的自由秩的下界由 $\pi_1X$ 中的挠元数量给出，提供了非刚性障碍。
• 同调高阶 rho 不变量即使在 $\pi_1X$ 无挠时，也能检测到结构群中的非平凡元素，扩展了该不变量的适用范围。
• 通过同调高阶 rho 不变量，证明了某些闭合定向拓扑流形的结构群不是有限生成的。
• 证明了几何周期化映射 $\mathcal{GP}$ 与经典 Siebenmann 周期化映射 $\mathcal{SP}$ 一致，确保了 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$ 的群结构的一致性。