[论文解读] ADE bundles over surfaces with ADE singularities

Yunxia Chen, Naichung Conan Leung|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在具有 ADE 奇点且 pg=0 的紧复曲面上构造了 ADE 李代数丛及其极小表示丛，证明它们可通过极小解析覆盖上的全纯结构变形，从而下降到奇点曲面。关键结果是此类丛可下降当且仅当例外曲线满足特定上同调条件，将 (−1)-曲线的几何配置与表示理论联系起来。

ABSTRACT

Given a complex projective surface with an ADE singularity and p_{g}=0, we construct ADE bundles over it and its minimal resolution. Furthermore, we descibe their minuscule representation bundles in terms of configurations of (reducible) (-1)-curves.

研究动机与目标

• 在具有 ADE 奇点且 pg=0 的紧复曲面上构造 ADE 李代数丛。
• 通过极小解析覆盖 Y 中 (−1)-曲线的配置描述极小表示丛。
• 确定这些丛从覆盖 Y 下降到奇点曲面 X 的条件。
• 将几何数据（(−1)-曲线和例外除子）与表示论数据（极小表示和对称形式）联系起来。

提出的方法

• 利用具有 ADE 奇点的曲面 X 的极小覆盖 π:Y→X，从例外除子的对偶图中提升 ADE 根系。
• 在 Y 上构造全纯李代数丛 E₀ᵍ 为 O_Y^⊕n ⊕ ⨁_{α∈Φ} O_Y(α)，其中 Φ 为 ADE 根系。
• 通过 φ∈Ω^{0,1}(Y,⨁_{α∈Φ⁺} O_Y(α)) 变形全纯结构，使得 ∂̄_φ = ∂̄ + ad(φ) 在 E₀ᵍ 上定义新的全纯结构。
• 证明变形丛 E_φᵍ 在每个例外曲线 C_i 上平凡当且仅当 [φ_{C_i}|_{C_i}] ≠ 0 在 H¹(C_i, O_{C_i}(C_i)) ≅ ℂ 中成立。
• 对于极小表示 V，从在 X 中位于 (−1)-曲线 C₀ 上方的 (−1)-曲线 l 构造丛 L₀^{(ℊ,V)} = ⨁_{l: π(l)=C₀} O_Y(l)。
• 证明 L₀^{(ℊ,V)} 允许与 E_φᵍ 作用相容的全纯结构 ∂̄_φ，且当上同调条件成立时可下降到 X。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 ADE 奇点的曲面的极小覆盖 Y 上的 ADE 李代数丛可下降到奇点曲面 X？
• RQ2 ADE 李代数的极小表示丛如何通过 Y 中 (−1)-曲线的配置几何实现？
• RQ3 上同调类 [φ_{C_i}|_{C_i}] ∈ H¹(C_i, O_{C_i}(C_i)) 在丛从 Y 到 X 的下降过程中起什么作用？
• RQ4 当全纯结构由 φ ∈ Ω^{0,1}(Y,⨁_{α∈Φ⁺} O_Y(α)) 参数化时，李代数丛结构是否可保持不变？
• RQ5 极小表示丛上的对称张量结构如何与 (−1)-曲线的几何及 ADE 根系相关联？

主要发现

• 在 Y 上的 ADE 李代数丛 E₀ᵍ 可通过 φ ∈ Ω^{0,1}(Y,⨁_{α∈Φ⁺} O_Y(α)) 变形为全纯丛 E_φᵍ，使得 ∂̄_φ 保持李代数结构。
• 变形丛 E_φᵍ 可下降到 X 当且仅当对所有 i 有 [φ_{C_i}|_{C_i}] ≠ 0 在 H¹(C_i, O_{C_i}(C_i)) 中成立。
• 对于极小表示 V，由在 X 中位于 C₀ 上方的 (−1)-曲线 l 构造的丛 L₀^{(ℊ,V)} 允许与 E_φᵍ 作用相容的全纯结构 ∂̄_φ。
• 当 V 为标准表示时，存在全纯对称多重线性形式 f:⨂^r L_φ^{(ℊ,V)} → O_Y(D)，其中 r=2,3,4 对应 ℊ=A_n,D_n,E_6,E_7，使得 E_φᵍ ≅ aut₀(L_φ^{(ℊ,V)}, f)。
• E_φᵍ 的第一陈类为零，且 c₂(E_φᵍ) = dim(ℊ) − rank(ℊ)，表明这些丛是非平凡的。
• 该构造不唯一：不同的 φ 选择可产生非同构的全纯结构，如通过将 φ_{α} 替换为 φ_{α}+ψ（ψ≠0 在 H¹(Y,O_Y(α)) 中）所示。