[论文解读] ADE Double Scaled Little String Theories, Mock Modular Forms and Umbral Moonshine

Jeffrey A. Harvey, Sameer Murthy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用 8

一句话总结

本文研究了具有ADE根格系（Coxeter数为k）的K3空间上的双缩放小弦理论，表明通过第二自旋超迹计数的BPS基本弦态产生权为2的混合模形式。利用路径积分与哈密顿方法，本文证明路径积分给出哈密顿方法中非模形式的全纯结果的模形式完备化，并发现对于由ADE根构成的Niemeier格系，其结果与Umbral Moonshine形式在常数因子内完全匹配。

ABSTRACT

We consider double scaled little string theory on $K3$. These theories are labelled by a positive integer $k \ge 2$ and an $ADE$ root lattice with Coxeter number $k$. We count BPS fundamental string states in the holographic dual of this theory using the superconformal field theory $K3 imes \left( \frac{SL(2,\mathbb{R})_k}{U(1)} imes \frac{SU(2)_k}{U(1)} ight) \big/ \mathbb{Z}_k$. We show that the BPS fundamental string states that are counted by the second helicity supertrace of this theory give rise to weight two mixed mock modular forms. We compute the helicity supertraces using two separate techniques: a path integral analysis that leads to a modular invariant but non-holomorphic answer, and a Hamiltonian analysis of the contribution from discrete states which leads to a holomorphic but not modular invariant answer. From a mathematical point of view the Hamiltonian analysis leads to a mixed mock modular form while the path integral gives the completion of this mixed mock modular form. We also compare these weight two mixed mock modular forms to those that appear in instances of Umbral Moonshine labelled by Niemeier root lattices $X$ that are powers of $ADE$ root lattices and find that they are equal up to a constant factor that we determine. In the course of the analysis we encounter an interesting generalization of Appell-Lerch sums and generalizations of the Riemann relations of Jacobi theta functions that they obey.

研究动机与目标

• 理解具有ADE根格系的K3空间上双缩放小弦理论的BPS态谱。
• 通过两种互补方法——路径积分与哈密顿分析——分析这些理论的全息CFT对偶的第二自旋超迹。
• 确定结果模形式的模性质，并将其与模形式联系起来。
• 将结果得到的权为2的混合模形式与由ADE根系构建的Niemeier格系中的Umbral Moonshine形式进行比较。
• 揭示新的数学结构，包括广义Appell-Lerch和式及theta函数的Riemann型关系。

提出的方法

• 全息对偶被构造为 $ K3 \times \left( \frac{SL(2,\mathbb{R})_k}{U(1)} \times \frac{SU(2)_k}{U(1)} \right) / \mathbb{Z}_k $，用于建模K3空间上的双缩放小弦理论。
• 通过路径积分方法计算第二自旋超迹，得到一个模不变但非全纯的函数。
• 哈密顿分析分离出离散态的贡献，产生一个全纯但非模的函数结果。
• 通过证明路径积分结果是哈密顿全纯形式的模形式完备化，将路径积分与哈密顿结果相匹配。
• 作者推导并使用广义Riemann theta关系与广义Appell-Lerch和式，以处理计算中theta函数的恒等式。
• 结果得到的权为2的混合模形式与由ADE根系构建的Niemeier格系 $ X $ 的Umbral Moonshine形式进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Coxeter数为 $ k $ 的ADE根格系的K3空间上，双缩放小弦理论中的BPS基本弦态如何组织为模形式？
• RQ2 通过路径积分与哈密顿方法计算的第二自旋超迹的模行为是什么？两者之间有何关系？
• RQ3 由全息CFT产生的权为2的混合模形式是否与由ADE根系构建的Niemeier格系中的Umbral Moonshine形式一致？
• RQ4 在计算中，诸如广义Appell-Lerch和式与Riemann型theta恒等式等新数学结构如何出现？
• RQ5 从弦理论得到的模形式与Umbral Moonshine中形式之间的精确常数因子是什么？

主要发现

• 具有Coxeter数 $ k $ 的ADE根格系的K3空间上双缩放小弦理论的第二自旋超迹产生一个权为2的混合模形式。
• 哈密顿分析得到一个全纯但非模的函数，其被识别为混合模形式。
• 路径积分分析产生一个模不变但非全纯的函数，即为哈密顿结果的模形式完备化。
• 小弦理论得到的混合模形式与由ADE根格系幂次构成的Niemeier格系 $ X $ 的Umbral Moonshine形式完全匹配，仅相差一个显式计算出的常数因子。
• 分析揭示了Appell-Lerch和式的推广，以及这些广义theta函数所满足的新Riemann型关系。
• 完整划分函数满足一组广义Riemann theta关系，包括 $ \widetilde{R5} $ 至 $ \widetilde{R16} $，这些关系对计算的一致性至关重要。