[论文解读] Adelic openness without the Mumford-Tate conjecture

Chun Yin Hui, Michael Larsen|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文在不假定Mumford-Tate猜想的前提下，提出了并证明了关于平展上同调上伽罗瓦表示的狭义开性猜想的弱化版本。它引入了猜想1.3，该猜想确保了在半单群的 simply connected 覆盖中，狭义伽罗瓦像的换位子群生成一个特殊的狭义子群；并表明，该猜想与Mumford-Tate猜想一起，可推出在半单群的 simply connected 形式中实现完全的狭义开性。

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular projective variety over a number field $K$, $i$ a non-negative integer, and $V_{\A}$, the etale cohomology of $\bar X$ with coefficients in the ring of finite adeles $\A_f$ over $\Q$. Assuming the Mumford-Tate conjecture, we formulate a conjecture (Conjecture 1.2) describing the largeness of the image of the absolute Galois group $G_K$ in $H(\A_f)$ under the adelic Galois representation $ρ_{\A}: G_K -> \Aut(V_{\A})=\GL_n(\A_f)$, where $H$ is the Hodge group. The motivating example is a celebrated theorem of Serre, which asserts that if $X$ is an elliptic curve without complex multiplication over $\bar K$ and $i=1$, then $ρ_{\A}(G_K)$ is an open subgroup of $\GL_2(\hat \Z)\subset \GL_2(\A_f)$. We state and in some cases prove a weaker conjecture which does not require Mumford-Tate but which, together with Mumford-Tate, implies Conjecture 1.2. We also relate our conjectures to Serre's conjectures on maximal motives.

研究动机与目标

• 提出一个不依赖于Mumford-Tate猜想的狭义伽罗瓦像大小的猜想。
• 弥合 Serre 的经典开像定理与动机理论中更广泛猜想框架之间的差距。
• 将狭义像的结构与 Serre 关于最大动机和动机伽罗瓦群的猜想联系起来。
• 通过换位映射建立在 $\ell$-进群乘积中特殊狭义子群的判别准则。
• 证明在Mumford-Tate猜想与猜想1.3成立的前提下，半单群的 simply connected 覆盖中实现完全狭义开性。

提出的方法

• 引入猜想1.3，断言对狭义伽罗瓦像的 $k$ 重积的换位映射在 $\prod_{\ell} G_{\ell}^{\operatorname{sc}}(\mathbb{Q}_{\ell})$ 中生成一个特殊的狭义子群。
• 将“特殊狭义子群”定义为：在几乎所有 $\ell$ 上为 $\ell$-进分量的开子群，且在未分支位置具有极大紧子群。
• 利用动机伽罗瓦群理论与动机范畴，将 $\Phi_{\mathbb{A}}(G_K)$ 与 $G_{\mathcal{M}(E)}(\mathbb{A}_f)$ 关联起来。
• 应用关于 $p$-进与狭义群中字映射与换位子群的结果，分析 $\kappa(\Gamma_{\mathbb{A}}, \Gamma_{\mathbb{A}})^k$ 的结构。
• 借助猜想5.1（Serre 关于最大动机的开像）与猜想5.2（最大动机的主导性）将问题约化到最大情形。
• 证明在Mumford-Tate猜想与猜想1.3成立的前提下，$\kappa(\Gamma_{\mathbb{A}}, \Gamma_{\mathbb{A}})^k$ 包含一个特殊的狭义子群，从而推出在 $H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{A}_f)$ 中实现狭义开性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假定Mumford-Tate猜想的前提下，建立平展上同调上伽罗瓦表示的狭义开性？
• RQ2 在半单群的 simply connected 覆盖中，狭义伽罗瓦像换位子群的精确结构是什么？
• RQ3 ‘特殊狭义子群’的概念如何与 $H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{A}_f)$ 中像的开性相关？
• RQ4 Serre 关于最大动机的猜想在多大程度上可推出半单群中的狭义开性？
• RQ5 在弱于完整Mumford-Tate猜想的假设下，能否证明狭义伽罗瓦表示的像包含一个特殊的狭义子群？

主要发现

• 猜想1.3被提出为狭义开性的一个弱化替代，其不依赖于Mumford-Tate猜想。
• 本文证明：若猜想1.3成立且Mumford-Tate猜想为真，则对所有 $k \geq 2$，$\kappa(\Phi_{\mathbb{A}}(G_K), \Phi_{\mathbb{A}}(G_K))^k$ 包含 $\prod_{\ell} H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{Q}_{\ell})$ 中的一个特殊狭义子群。
• 在相同假设下，$\kappa(\Phi_{\mathbb{A}}(G_K), \Phi_{\mathbb{A}}(G_K))^k$ 在某个 $k$ 下对 $H^{\operatorname{sc}}(\mathbb{A}_f)$ 是开的，从而推出猜想1.2。
• 该证明依赖于存在一个主导给定动机的最大动机（根据猜想5.2），以及最大动机的开像性质（根据猜想5.1）。
• 作者表明，狭义伽罗瓦表示 $\Phi_E(G_K)$ 的像包含于 $H(\mathbb{A}_f)$ 中，其换位子像在 simply connected 覆盖中是开的。
• 该结果在未假设完整Mumford-Tate猜想的前提下，建立了动机伽罗瓦群结构与狭义开性之间的条件性联系。