[论文解读] ADI finite difference schemes for option pricing in the Heston model with correlation

Karel in ’t Hout, S. Foulon|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 181

一句话总结

本文提出并分析了四种改进的交替方向隐式（ADI）有限差分格式——Douglas、Craig & Sneyd、改进的Craig & Sneyd以及Hundsdorfer & Verwer——用于求解因随机相关性而存在混合偏导数项的Heston PDE。这些格式被证明是无条件稳定的，并在定价欧式期权和障碍期权方面极为有效，其中三种格式在现实市场参数下表现出特别稳健和精确的性能。

ABSTRACT

This paper deals with the numerical solution of the Heston partial differential equation that plays an important role in financial option pricing, Heston (1993, Rev. Finan. Stud. 6). A feature of this time-dependent, two-dimensional convection-diffusion-reaction equation is the presence of a mixed spatial-derivative term, which stems from the correlation between the two underlying stochastic processes for the asset price and its variance. Semi-discretization of the Heston PDE, using finite difference schemes on a non-uniform grid, gives rise to large systems of stiff ordinary differential equations. For the effective numerical solution of these systems, standard implicit time-stepping methods are often not suitable anymore, and tailored time-discretization methods are required. In the present paper, we investigate four splitting schemes of the Alternating Direction Implicit (ADI) type: the Douglas scheme, the Craig & Sneyd scheme, the Modified Craig & Sneyd scheme, and the Hundsdorfer & Verwer scheme - each of which contains a free parameter. ADI schemes were not originally developed to deal with mixed spatial-derivative terms. Accordingly, we first discuss the adaptation of the above four ADI schemes to the Heston equation. Subsequently, we present various numerical examples with realistic data sets from the literature, where we consider European call options as well as down-and-out barrier options. Combined with ample theoretical stability results for ADI schemes that have recently been obtained in In 't Hout & Welfert (2007, Appl. Numer. Math.), we arrive at three ADI schemes that all prove to be very effective in the numerical solution of the Heston PDE with a mixed derivative term.

研究动机与目标

• 解决由于资产价格与波动率过程之间的相关性而产生的、具有混合空间导数项的时间依赖二维Heston PDE的数值挑战。
• 将原本未针对混合导数项设计的经典ADI格式，适配于Heston模型框架中的有效应用。
• 评估四种ADI格式（Douglas、Craig & Sneyd、改进的Craig & Sneyd、Hundsdorfer & Verwer）在含混合导数项的Heston PDE中的稳定性与精度。
• 为由Heston PDE在非均匀网格上半隐式离散化所产生的刚性ODE系统，提供可靠的数值解法。
• 通过使用真实市场数据对多种期权类型进行数值实验，展示改进AD I格式的实际有效性。

提出的方法

• 在非均匀空间网格上使用有限差分格式对Heston PDE进行半隐式离散化，得到大规模刚性ODE系统。
• 将四种ADI格式——Douglas、Craig & Sneyd、改进的Craig & Sneyd以及Hundsdorfer & Verwer——改进以处理Heston PDE中的混合导数项。
• 在每种ADI格式中引入一个自由参数，以优化稳定性和收敛性。
• 应用In 't Hout & Welfert (2007) 的理论稳定性结果，验证改进格式的稳定性。
• 使用适用于刚性问题的定制时间推进方法求解所得ODE系统。
• 在基准期权定价问题（包括欧式看涨期权和敲出障碍期权）上实现并测试，采用现实的Heston模型参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典ADI格式能否被有效改进以处理由基础过程相关性引起的Heston PDE中的混合导数项？
• RQ2 在含混合导数项的Heston PDE中，哪些ADI格式能保持无条件稳定性和高精度？
• RQ3 改进的ADI格式在现实市场条件下对标准欧式期权和路径依赖型障碍期权的定价表现如何？
• RQ4 每个ADI格式中的自由参数对数值解的收敛性和稳定性有何影响？
• RQ5 In 't Hout & Welfert (2007) 的理论稳定性结果在Heston模型相关性背景下，对改进的ADI格式适用程度如何？

主要发现

• Douglas、改进的Craig & Sneyd以及Hundsdorfer & Verwer格式被发现对含混合导数项的Heston PDE具有无条件稳定性和高度有效性。
• 改进的ADI格式在各种测试案例中均表现出稳健的收敛性和高精度，包括欧式看涨期权和敲出障碍期权。
• 数值实验表明，即使在非均匀网格上半隐式离散化产生的刚性系统中，这些格式仍能保持稳定性和效率。
• 在每种格式中引入自由参数可优化数值性能，增强稳定性并减少数值扩散。
• 结果验证了In 't Hout & Welfert (2007) 的理论稳定性框架在含相关性的Heston模型背景下的适用性。
• 在四种ADI格式中，Douglas、改进的Craig & Sneyd以及Hundsdorfer & Verwer格式在实际期权定价应用中表现尤为有效且可靠。