[论文解读] Adiabatic approximation with better than exponential accuracy for many-body systems and quantum computation

Daniel A. Lidar, A. T. Rezakhani+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2008

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用 4

一句话总结

本文提出了一种专为绝热量子计算设计的改进绝热定理，表明在哈密顿量演化为解析函数、端点处时间导数趋于零且目标态非简并并具有能隙的条件下，时间演化态保真度的误差随演化时间呈优于指数的衰减。关键结果为演化时间与哈密顿量时间导数范数的平方除以最小能隙立方成正比。

ABSTRACT

We derive a version of the adiabatic theorem that is especially suited for applications in adiabatic quantum computation, where it is reasonable to assume that the adiabatic interpolation between the initial and final Hamiltonians is controllable. Assuming that the Hamiltonian is analytic in a finite strip around the real time axis, that some number of its time-derivatives vanish at the initial and final times, and that the target adiabatic eigenstate is non-degenerate and separated by a gap from the rest of the spectrum, we show that one can obtain an error between the final adiabatic eigenstate and the actual time-evolved state which is exponentially small in the evolution time, where this time itself scales as the square of the norm of the time-derivative of the Hamiltonian, divided by the cube of the minimal gap.

研究动机与目标

• 通过改进绝热定理，提高量子计算中绝热态制备的精度。
• 解决标准绝热定理在实现次指数误差衰减方面的局限性。
• 确立绝热误差随演化时间呈指数小量的条件。
• 为具有初始与最终哈密顿量可控插值的绝热量子计算提供严谨框架。

提出的方法

• 假设哈密顿量在实时间轴附近有限条带内为解析函数，从而可应用解析延拓技术。
• 要求哈密顿量的前几阶时间导数在初始和最终时刻为零，以抑制非绝热跃迁。
• 利用谱隙条件确保目标本征态非简并且与谱的其余部分分离。
• 应用复分析与时间依赖微扰论，对跃迁至其他本征态的振幅进行上界估计。
• 以演化时间与能隙为变量，推导实际时间演化态与目标绝热本征态之间误差的上界。
• 证明演化时间与 ||Ḣ||² / Δ³ 成正比，其中 ||Ḣ|| 为哈密顿量时间导数的范数，Δ 为最小能隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子计算的实际假设下，绝热误差能否在演化时间上实现优于指数衰减？
• RQ2 哈密顿量的时间依赖性与谱结构需满足何种条件，才能实现次指数误差衰减？
• RQ3 在多体系统中，端点处时间导数的消失如何影响绝热误差？
• RQ4 演化时间与哈密顿量时间导数范数及能隙之间应具有何种最优标度关系？
• RQ5 哈密顿量在复条带内的解析性是否能带来绝热演化中更优的收敛界？

主要发现

• 在所述条件下，时间演化态与目标本征态之间的绝热误差随演化时间呈指数小量。
• 演化时间与哈密顿量时间导数范数的平方除以最小能隙立方成正比。
• 通过要求哈密顿量在端点处更高阶时间导数为零，可进一步增强误差抑制效果。
• 哈密顿量在复条带内的解析性使得可运用围道积分与复分析技术，导出更紧致的上界。
• 该结果适用于与谱其余部分由能隙分隔的非简并目标态。
• 该框架特别适用于具有初始与最终哈密顿量可控插值的绝热量子计算。