[论文解读] Adiabatic Geometrical Phase for Scalar Fields in a Curved Spacetime

Alí Mostafazadeh|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文通过克莱因-戈登方程的两分量形式，将贝里的绝热几何相位推广至弯曲时空中的相对论性标量场。其建立了独立于场方程内积的几何相位框架，仅依赖于空间L²内积；关键结果表明，布亚希I型模型中几何相位为零，而布亚希IX型模型中出现非阿贝尔几何相位，其与核四极矩哈密顿量存在类比。

ABSTRACT

A convenient framework is developed to generalize Berry's investigation of the adiabatic geometrical phase for a classical relativistic charged scalar field in a curved background spacetime which is minimally coupled to electromagnetism and an arbitrary (non-electromagnetic) scalar potential. It involves a two-component formulation of the corresponding Klein-Gordon equation. A precise definition of the adiabatic approximation is offered and conditions of its validity are discussed. It is shown that the adiabatic geometric phase can be computed without making a particular choice for an inner product on the space of solutions of the field equations. What is needed is just an inner product on the Hilbert space of the square integrable functions defined on the spatial hypersurfaces. The two-component formalism is applied in the investigation of the adiabatic geometric phases for several specific examples, namely, a rotating magnetic field in Minkowski space, a rotating cosmic string, and an arbitrary spatially homogeneous cosmological background. It is shown that the two-component formalism reproduces the known results for the first two examples. It also leads to several interesting results for the case of spatially homogeneous cosmological models. In particular, it is shown that the adiabatic geometric phase angles vanish for Bianchi type I models. The situation is completely different for Bianchi type IX models where a variety of nontrivial non-Abelian adiabatic geometrical phases can occur. The analogy between the adiabatic geometric phases induced by the Bianchi type IX backgrounds and those associated with the well-known time-dependent nuclear quadrupole Hamiltonians is also pointed out.

研究动机与目标

• 将原本为量子系统发展出的绝热几何相位概念，推广至弯曲时空中的经典相对论性标量场。
• 构建一个无需依赖场解空间特定内积的几何相位计算框架。
• 分析特定物理情景下的几何相位：闵可夫斯基空间中的旋转磁场、旋转宇宙弦，以及空间均匀的宇宙学模型。
• 阐明在相对论场论中绝热近似成立的条件。
• 探讨布亚希IX型宇宙学模型中非阿贝尔几何相位的出现机制。

提出的方法

• 引入克莱因-戈登方程的两分量形式，以描述在弯曲时空中的最小耦合标量场，包含电磁势和任意标量势。
• 通过背景参数的缓慢变化精确定义绝热近似，并从场方程推导出其有效性条件。
• 利用定义在空间超面上的内积计算几何相位，避免依赖场解空间的结构。
• 将该形式化方法应用于三个案例研究：旋转磁场、旋转宇宙弦，以及空间均匀的宇宙学模型。
• 对于布亚希模型，利用两分量演化方程导出的联络的本性来分析几何相位。
• 通过几何相位结构的同构性，建立布亚希IX型背景与时间依赖核四极矩哈密顿量之间的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在弯曲时空中的相对论性标量场中一致地推广绝热几何相位？
• RQ2 在相对论场论中，绝热近似成立的条件是什么？
• RQ3 能否在不指定场解空间内积的情况下计算几何相位？
• RQ4 在空间均匀的宇宙学模型中，几何相位结构如何，特别是布亚希I型和IX型？
• RQ5 在旋转宇宙弦背景中，几何相位的性质是什么？

主要发现

• 两分量形式正确再现了闵可夫斯基空间中旋转磁场的绝热几何相位。
• 旋转宇宙弦模型的结果与已知结果一致，验证了该形式化方法的有效性。
• 对于布亚希I型宇宙学模型，由于单连通性导致的阿贝尔性，绝热几何相位角恒为零。
• 在布亚希IX型模型中，出现了非平凡的非阿贝尔几何相位，表明其由单连通性诱导的相位结构丰富。
• 布亚希IX型模型中的几何相位结构与时间依赖核四极矩哈密顿量的结构同构，暗示几何相位物理中存在深层类比。
• 该形式化方法可在不固定解空间内积的情况下计算几何相位，仅依赖于空间L²内积。