[论文解读] Adiabatic Limit and Deformations of Complex Structures

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文证明了全纯族的Moishezon流形的中心纤维本身也是Moishezon流形，从而确立了复结构变形下的闭包性质。文章引入了一个定义在ℂ上的全纯向量丛，其在h=0处的纤维同构于Frölicher谱序列的退化页，并定义了一类松弛化的强Gauduchon度量（E_r-sG），以分析上同调极限。

ABSTRACT

Based on our recent adaptation of the adiabatic limit construction to the case of complex structures, we prove the fact that the deformation limiting manifold of any holomorphic family of Moishezon manifolds is Moishezon. Two new ingredients, hopefully of independent interest, are introduced. The first one associates with every compact complex manifold $X$, in every degree $k$, a holomorphic vector bundle over $\C$ of rank equal to the $k$-th Betti number of $X$. This vector bundle, previously given an algebraic construction in the literature, shows that the degenerating page of the Frölicher spectral sequence of $X$ is the holomorphic limit, as $h\in\C^\star$ tends to $0$, of the $d_h$-cohomology of $X$, where $d_h=h\partial + \bar\partial$. A relative version of this vector bundle is then associated with every holomorphic family of compact complex manifolds. The second ingredient is a relaxation of the notion of strongly Gauduchon (sG) metric that we introduced in 2009. For a given positive integer $r$, a Gauduchon metric $γ$ on an $n$-dimensional compact complex manifold $X$ is said to be $E_r$-sG if $\partialγ^{n-1}$ represents the zero cohomology class on the $r$-th page of the Frölicher spectral sequence of $X$. Strongly Gauduchon metrics coincide with $E_1$-sG metrics.

研究动机与目标

• 证明全纯族的Moishezon流形的中心纤维是Moishezon流形，确立其在形变下的闭包性。
• 为复几何中的绝热极限构造提供一个概念性框架，扩展此前的临时处理方法。
• 引入一个ℂ上的典范全纯向量丛，其在h=0处的纤维捕捉Frölicher谱序列的退化页。
• 定义并研究E_r-sG度量，即强Gauduchon度量的松弛化形式，作为分析形变下上同调行为的工具。
• 通过d_h-算子的迭代逆拉普拉斯算子，建立微分形式的新正交分解，从而改进d_h-算子的Hodge理论。

提出的方法

• 在紧致复流形X上引入d_h算子d_h = h∂ + ∂̄，其在h=0时插值为∂̄，在h=1时插值为d。
• 构造一个定义在ℂ上的全纯向量丛，其在h ∈ ℂ*处的纤维同构于d_h-上同调，其在h=0处的纤维同构于Frölicher谱序列的E_1页。
• 通过d_h-算子的绝热极限技术，将极限的上同调与谱序列的退化页联系起来。
• 将E_r-sG度量定义为满足∂γ^{n−1}在Frölicher谱序列的第r页上表示零上同调类的Hermitian度量。
• 发展了(p,q)-形式上更高阶拉普拉斯算子Δ̃^{(r)}的递归构造，从而得到调和空间的滤子H_r^{p,q} = ker Δ̃^{(r)} ⊂ ⋯ ⊂ H_1^{p,q} = H^{p,q}_{BC}。
• 对每个r，建立C^∞_{p,q}(X,ℂ)的三空间正交分解，涉及∂与∂^⋆的像，以及前序拉普拉斯算子的迭代预解。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯族的Moishezon流形的中心纤维是否一定是Moishezon流形？
• RQ2 Frölicher谱序列的退化页是否可作为h→0时d_h-上同调的全纯极限实现？
• RQ3 强Gauduchon条件的松弛化形式（E_r-sG）是否允许对谱序列退化的上同调特征进行刻画？
• RQ4 拉普拉斯算子Δ̃^{(r)}的递归构造是否能产生一个细化Hodge分解的调和空间滤子？
• RQ5 由迭代d_h-算子及其共轭算子诱导的微分形式正交分解具有何种结构？

主要发现

• 任何全纯族的Moishezon流形在单位圆盘上的中心纤维X_0都是Moishezon流形，从而证实了一个长期存在的猜想。
• 对任意紧致复流形X，存在一个ℂ上的典范全纯向量丛，其在h ∈ ℂ*处的纤维同构于H^k_{d_h}(X,ℂ)，其在h=0处的纤维同构于Frölicher谱序列的E_1页。
• E_r-sG条件推广了强Gauduchon条件：E_1-sG度量恰好就是强Gauduchon度量。
• 该构造产生调和空间的嵌套滤子H_r^{p,q} = ker Δ̃^{(r)} ⊂ H_{r-1}^{p,q} ⊂ ⋯ ⊂ H_1^{p,q} = H^{p,q}_{BC}，且H_r^{p,q}同构于Frölicher谱序列的E_r页。
• 对每个r，建立了C^∞_{p,q}(X,ℂ)的三空间正交分解，其分量涉及∂与∂^⋆的像，以及前序拉普拉斯算子的迭代预解。
• 第(r+1)重迭代拉普拉斯算子Δ̃^{(r+1)}的核被刻画为包含算子p_j与D_{j-1} = ((Δ̃^{(1)})^{-1}∂^*∂)⋯((Δ̃^{(j-1)})^{-1}∂^*∂)的核的交集。