[论文解读] Adiabatic Limit, Theta Function, and Geometric Quantization

Takahiko Yoshida|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用 4

一句话总结

本论文研究了在具有预量线丛的拉格朗日子丛纤维化上，Spin c Dirac算子的绝热极限，建立了以Bohr-Sommerfeld点为指标的$L^2$-截面正交族。在可积情形下，这些截面收敛于Bohr-Sommerfeld纤维上的狄拉克函数，并与雅可比θ函数相关；在不可积情形下，截面保持正交，且其Dirac算子范数在绝热极限下趋于零。

ABSTRACT

Let $π\colon (M,ω) o B$ be a non-singular Lagrangian torus fibration on a complete base $B$ with prequantum line bundle $\bigl(L, abla^L\bigr) o (M,ω)$. Compactness on $M$ is not assumed. For a positive integer $N$ and a compatible almost complex structure $J$ on $(M,ω)$ invariant along the fiber of $π$, let $D$ be the associated Spin${}^c$ Dirac operator with coefficients in $L^{\otimes N}$. First, in the case where $J$ is integrable, under certain technical condition on $J$, we give a complete orthogonal system $\{ \vartheta_b\}_{b\in B_{ m BS}}$ of the space of holomorphic $L^2$-sections of $L^{\otimes N}$ indexed by the Bohr-Sommerfeld points $B_{ m BS}$ such that each $\vartheta_b$ converges to a delta-function section supported on the corresponding Bohr-Sommerfeld fiber $π^{-1}(b)$ by the adiabatic(-type) limit. We also explain the relation of $\vartheta_b$ with Jacobi's theta functions when $(M,ω)$ is $T^{2n}$. Second, in the case where $J$ is not integrable, we give an orthogonal family $\big\{ { ilde \vartheta}_b\big\}_{b\in B_{ m BS}}$ of $L^2$-sections of $L^{\otimes N}$ indexed by $B_{ m BS}$ which has the same property as above, and show that each $D{ ilde \vartheta}_b$ converges to $0$ by the adiabatic(-type) limit with respect to the $L^2$-norm.

研究动机与目标

• 理解在非紧致拉格朗日子丛纤维化中，通过绝热极限实现的几何量子化与实量子化之间的关系。
• 在可积与不可积的几乎复结构下，构造$ L^{\times N} $的$L^2$-截面正交族，其指标为Bohr-Sommerfeld点。
• 分析这些截面及其Dirac算子作用在绝热极限下的渐近行为。
• 阐明当流形为环面$ T^{2n} $时，所构造截面与雅可比θ函数之间的联系。

提出的方法

• 在$(M,\rho)$上构造一个与拉格朗日子丛纤维化$\pi: M \to B$的纤维保持不变的相容几乎复结构$J$。
• 定义系数为$ L^{\bigotimes N} $的Spin c Dirac算子$D$，并研究其在$L^2$-截面上的作用。
• 在可积情形下，利用局部全纯数据定义截面$\vartheta_b$，并证明其构成一个完备正交系。
• 在不可积情形下，定义$\widetilde{\vartheta}_b$为具有类似渐近性质的正交族。
• 利用类绝热极限分析$\vartheta_b$收敛于狄拉克函数以及$D\widetilde{\vartheta}_b \to 0$在$L^2$-范数下的收敛性。
• 利用积分仿射结构，并将单值性作用提升至预量线丛，以确保构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可积情形下，$L^{\bigotimes N}$的全纯$L^2$-截面在绝热极限下的行为如何？
• RQ2 当$M = T^{2n}$时，所构造截面$\vartheta_b$与雅可比θ函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 是否可以在不可积情形下构造出仍表现出相同绝热极限行为的$L^2$-截面正交族？
• RQ4 在绝热极限下，Dirac算子$D$作用于不可积截面$\widetilde{\vartheta}_b$时，其在$L^2$-范数下是否收敛于零？
• RQ5 在何种几乎复结构$J$条件下，零度调和旋量空间保持非平凡？

主要发现

• 在可积情形下，构造了一个由Bohr-Sommerfeld点参数化的、$L^{\otimes N}$的全纯$L^2$-截面的完备正交系$\{\vartheta_b\}_{b \in B_{BS}}$。
• 每个$\vartheta_b$在绝热极限下收敛于支撑在Bohr-Sommerfeld纤维$\pi^{-1}(b)$上的狄拉克函数截面。
• 当$M = T^{2n}$时，截面$\vartheta_b$显式地与雅可比θ函数相关。
• 在不可积情形下，构造了一个由$L^2$-截面组成的正交族$\{\widetilde{\vartheta}_b\}_{b \in B_{BS}}$，其具有与狄拉克函数相同的渐近收敛性。
• 在不可积情形下，当取绝热极限时，有$\|D\widetilde{\vartheta}_b\|_{L^2} \to 0$。
• 该构造依赖于一个技术性条件，以确保存在非平凡的零度调和旋量，该条件在$\Gamma$-等变性与可积性假设下成立。