[论文解读] Adiabatic Quantum Computation is Equivalent to Standard Quantum Computation

Dorit Aharonov, Wim van Dam+4 more|ArXiv.org|May 18, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文证明了绝热量子计算与标准量子线路模型在多项式时间内等价，表明任何量子算法均可通过绝热过程高效模拟。关键贡献在于构建了一种从任意量子线路到具有反多项式谱隙的局部哈密顿量路径的显式映射，确立了两种模型之间的完整计算等价性。

ABSTRACT

Adiabatic quantum computation has recently attracted attention in the physics and computer science communities, but its computational power was unknown. We describe an efficient adiabatic simulation of any given quantum algorithm, which implies that the adiabatic computation model and the conventional quantum computation model are polynomially equivalent. Our result can be extended to the physically realistic setting of particles arranged on a two-dimensional grid with nearest neighbor interactions. The equivalence between the models provides a new vantage point from which to tackle the central issues in quantum computation, namely designing new quantum algorithms and constructing fault tolerant quantum computers. In particular, by translating the main open questions in the area of quantum algorithms to the language of spectral gaps of sparse matrices, the result makes these questions accessible to a wider scientific audience, acquainted with mathematical physics, expander theory and rapidly mixing Markov chains.

研究动机与目标

• 解决绝热量子计算是否能实现标准量子计算全部计算能力的开放问题。
• 建立绝热模型与量子线路模型之间形式上的等价性。
• 提供一种基于物理动机的、利用局部哈密顿量进行绝热演化来高效模拟任意量子线路的方法。
• 将等价性扩展至物理上现实的设置，例如具有最近邻相互作用的二维晶格上的量子比特。
• 将量子算法设计与容错性问题转化为稀疏矩阵的谱隙问题，使其可被数学物理及相关领域所利用。

提出的方法

• 构造一个历史态哈密顿量，通过时钟量子比特与计算量子比特编码量子线路的演化过程。
• 在哈密顿量空间中沿直线路径定义时间依赖的哈密顿量 H(s) = (1−s)H_init + sH_final。
• 确保最终哈密顿量 H_final 的基态编码了量子线路的输出。
• 使用修改后的量子线路，在末尾加入恒等门，以实现基于测量的状态读出。
• 证明时间演化哈密顿量的谱隙在整个演化过程中保持为 Ω(L⁻³)，从而保证绝热性。
• 应用谱隙分析与微扰理论，表明基态从初始态演化到目标历史态时保有高保真度。

实验结果

研究问题

• RQ1 绝热量子计算能否在多项式时间内模拟任意量子算法？
• RQ2 绝热模型是否在计算能力上等价于标准的量子线路模型？
• RQ3 该等价性能否扩展至具有二维晶格上最近邻相互作用的物理现实系统？
• RQ4 能否通过稀疏哈密顿量的谱隙特性完全表征绝热量子计算的计算能力？
• RQ5 量子算法设计中的开放问题能否被重新表述为数学物理中的谱隙问题？

主要发现

• 绝热量子计算与标准量子线路模型在多项式时间内等价，意味着任何量子算法均可通过绝热演化高效模拟。
• 绝热哈密顿量路径的谱隙在整个演化过程中保持为 Ω(L⁻³)，确保了多项式时间内的绝热演化。
• 最终哈密顿量的基态与量子线路的历史态 ε-接近，可通过测量实现正确输出读出。
• 即使限制在具有最近邻相互作用的二维晶格上的局部哈密顿量，该等价性依然成立。
• 该构造使得量子算法设计可转化为谱隙分析，弥合了量子计算与数学物理之间的鸿沟。
• 该方法可高效模拟任意量子线路，包括具有任意酉门和测量结果的线路。