[论文解读] Adiabatic Quantum Computing for Binary Clustering

Christian Bauckhage, Eduardo Barreto Brito+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出一种绝热量子计算方法，通过将k均值目标函数重新表述为适用于D-Wave型量子处理器的伊辛模型，实现二值聚类。利用QuTiP进行数值模拟，结果表明量子比特系统能够绝热演化至聚类解，验证了绝热量子优化在无监督学习中的可行性。

ABSTRACT

Quantum computing for machine learning attracts increasing attention and recent technological developments suggest that especially adiabatic quantum computing may soon be of practical interest. In this paper, we therefore consider this paradigm and discuss how to adopt it to the problem of binary clustering. Numerical simulations demonstrate the feasibility of our approach and illustrate how systems of qubits adiabatically evolve towards a solution.

研究动机与目标

• 通过将绝热量子计算适配至无监督学习任务，弥合量子计算与机器学习之间的鸿沟。
• 解决将经典聚类目标映射为与当前绝热量子硬件兼容的伊辛模型的挑战。
• 证明通过k均值实现的二值聚类可等价地表述为最大化类间离散度，从而支持伊辛模型的构建。
• 通过使用QuTiP对绝热演化过程进行数值模拟，验证该量子方法，揭示量子态动力学的内在机制。

提出的方法

• 针对k=2的k均值聚类目标，通过最大化类间离散度 $ S_B = 2n_1n_2\|\bm{\mu}_1 - \bm{\mu}_2\|^2 $ 进行重构，该表达式在数学上等价于最小化类内离散度。
• 将 $ S_B $ 的最大化问题转化为无约束二次二值优化（QUBO）问题，可直接映射至伊辛哈密顿量。
• 构建一个量子比特寄存器，其中自旋态表示聚类分配（例如，+1代表聚类1，-1代表聚类2），并将数据点分配编码至系统的能量景观中。
• 定义一个随时间演化的哈密顿量，使其从一个简单的初始哈密顿量绝热演化至对应于聚类问题的最终伊辛哈密顿量。
• 使用QuTiP模拟绝热演化过程，追踪量子态振幅的时间演化，以观察其向基态收敛的轨迹。
• 可视化基态概率的动力学演化，分析系统如何向最优聚类配置演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 k=2的k均值聚类问题能否被重构为适用于绝热量子计算的伊辛模型？
• RQ2 量子比特寄存器的绝热演化是否收敛至对应于有效二值聚类解的量子态？
• RQ3 在绝热演化过程中，量子基态振幅如何演化？其演化过程为聚类过程提供了何种洞见？
• RQ4 当前绝热量子硬件（如D-Wave）是否具备通过伊辛模型编码求解二值聚类问题的可行性？
• RQ5 能否利用最小化类内离散度与最大化类间离散度之间的等价性，实现聚类问题的量子优化？

主要发现

• 在k=2均值聚类中，最小化类内离散度的问题在数学上等价于最大化类间离散度 $ S_B $，从而支持量子兼容的重构形式。
• 对于k=2，类间离散度 $ S_B $ 简化为 $ 2n_1n_2\|\bm{\mu}_1 - \bm{\mu}_2\|^2 $，可表示为适合QUBO和伊辛模型编码的二次型。
• 使用QuTiP进行的数值模拟证实，量子比特系统的绝热演化能够收敛至对应于最优聚类配置的基态。
• 模拟结果表明，基态振幅的演化过程清晰突出了正确聚类分配的出现，验证了该量子方法的有效性。
• 对于固定数据集，总离散度 $ S_T $ 保持不变，且由于 $ S_T = S_W + \frac{1}{2n}S_B $，因此最小化 $ S_W $ 等价于最大化 $ S_B $，确认了目标函数的对偶性。
• 该方法通过将经典优化问题转化为当前量子退火硬件原生支持的形式，实现了绝热量子计算在无监督学习中的应用。