[论文解读] Adiabatic quantum optimization fails for random instances of NP-complete problems

B. L. Altshuler, Hari Krovi+1 more|ArXiv.org|Aug 19, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 29

一句话总结

本文表明，对于随机生成的 NP-完全问题 Exact Cover 3（EC3）实例，绝热量子优化因在绝热演化末期附近出现的回避能级交叉导致的指数级小能隙而失效。通过四阶微扰理论及与安德森局域化的类比，作者证明该能隙随问题规模呈指数级缩小，意味着即使对于典型随机实例，其运行时间也呈指数级增长。

ABSTRACT

Adiabatic quantum optimization has attracted a lot of attention because small scale simulations gave hope that it would allow to solve NP-complete problems efficiently. Later, negative results proved the existence of specifically designed hard instances where adiabatic optimization requires exponential time. In spite of this, there was still hope that this would not happen for random instances of NP-complete problems. This is an important issue since random instances are a good model for hard instances that can not be solved by current classical solvers, for which an efficient quantum algorithm would therefore be desirable. Here, we will show that because of a phenomenon similar to Anderson localization, an exponentially small eigenvalue gap appears in the spectrum of the adiabatic Hamiltonian for large random instances, very close to the end of the algorithm. This implies that unfortunately, adiabatic quantum optimization also fails for these instances by getting stuck in a local minimum, unless the computation is exponentially long.

研究动机与目标

• 研究绝热量子优化是否能有效求解如 EC3 这类 NP-完全问题的随机实例。
• 确定在特别构造的困难实例中观察到的失效现象是否也适用于典型随机生成的实例。
• 分析大规模随机 EC3 实例中绝热哈密顿量谱出现指数级小能隙的根源。
• 建立失效机制与量子系统中安德森局域化现象之间的联系。
• 评估微扰理论在预测绝热演化末期附近回避交叉的位置与大小方面的有效性。

提出的方法

• 使用时间依赖的哈密顿量 H(s) = (1-s)H₀ + sHₚ 形式化绝热量子优化协议，其中 Hₚ 编码 EC3 问题。
• 应用四阶微扰理论，计算在 s=1 附近基态与第一激发态之间的能级分裂。
• 识别出两个不同解的能级几乎简并的回避交叉点 λ_c，导致能隙变小。
• 推导出回避交叉位置的标度关系 λ_c ≈ O(N^{-1/8})，其依赖于四阶微扰系数 C^{(4)}。
• 建立绝热哈密顿量与 N 维超立方体上安德森局域化模型之间的联系。
• 通过在 N=200 的随机 EC3 实例上进行数值模拟，验证了预测结果，确认在 λ≈0.51 处出现回避交叉。

实验结果

研究问题

• RQ1 绝热量子优化是否在 NP-完全问题的随机实例上失效，而不仅限于特别设计的困难实例？
• RQ2 是什么原因导致随机 EC3 实例在绝热演化过程中出现指数级小的能级间隙？
• RQ3 微扰理论能否准确预测绝热演化末期附近回避交叉的位置与大小？
• RQ4 失效机制与量子系统中安德森局域化现象有何关联？
• RQ5 对于其他 NP-完全问题（如 3-SAT），由于低阶微扰效应，该失效是否更早发生？

主要发现

• 在随机 EC3 实例的绝热哈密顿量中，出现了一个指数级小的能级间隙，其标度为 e^{-cN}（c>0），这是由于在 s=1 附近出现的回避交叉所致。
• 回避交叉发生在 λ_c ≈ O(N^{-1/8})，在推导条件下，当 N > 86,000 时，能隙才可能呈指数级缩小。
• 对 N=200 实例的数值模拟确认在 λ≈0.51 处出现能级交叉，与微扰理论预测一致。
• 失效机制与安德森局域化相关，因为绝热哈密顿量与超立方体上安德森模型具有相同的数学结构。
• 对于 3-SAT 等问题，若能级分裂出现在微扰理论的二阶，则回避交叉将出现在 λ_c ≈ O(N^{-1/4})，使得指数级小的能隙在远小的 N 值下即可被观测到。
• 此前的模拟未观测到该小能隙，是因为它发生在演化末期（接近 s=1）且需要非常大的 N 才能使微扰理论有效。