[论文解读] Adiabatic Quantum Simulation Using Trotterization

Yin Sun, Jun-Yi Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于具有任意双线性相互作用的玻色哈密顿量的静态线性光学实现的Trotter化绝热量子模拟。通过将动力学绝热演化映射到静态光子阵列，当哈密顿量的非零矩阵元稀疏时，该方法实现了Trotter数$k$随系统尺寸$N$亚线性增长的鲁棒基态制备，并且对光学元件的参数波动保持鲁棒性。

ABSTRACT

As first proposed for the adiabatic quantum information processing by Wu, Byrd and Lidar [ Phys. Rev. Lett. 89, 057904 (2002)], the Trotterization technique is a very useful tool for universal quantum computing, and in particular, the adiabatic quantum simulation of quantum systems. Given a boson Hamiltonian involving arbitrary bilinear interactions, we propose a static version of this technique to perform an optical simulation that would enable the identification of the ground state of the Hamiltonian. By this method, the dynamical process of the adiabatic evolution is mapped to a static linear optical array which avoids the errors caused by dynamical fluctuations. We examine the cost of the physical implementation of the Trotterization, i.e. the number of discrete steps required for a given accuracy. Two conclusions are drawn. One is that number of required steps grows much more slowly than system size if the number of the non-zero matrix elements of Hamiltonian is not too large. The second is that the fluctuation of the parameters of optical elements does not affect the first conclusion. This implies that the method is robust against errors.

研究动机与目标

• 开发一种避免时间依赖控制引起的动力学误差的静态光学实现绝热量子模拟方法。
• 分析不同哈密顿量稀疏性结构下Trotter数$k$随系统尺寸$N$的标度行为。
• 评估模拟对光学元件参数波动的鲁棒性。
• 证明该方法能够通过量子模拟高效制备经典难以求解的矩阵对角化问题的基态。

提出的方法

• 使用Trotter-Suzuki分解将时间演化算符$U(T) = \tilde{\tau} \text{exp}[-i \tau H(a\tau)]$离散化为$k$个持续时间$\tau = T/k$的连续步骤。
• 将从易于制备的初始哈密顿量$H_0$到目标问题哈密顿量$H_p$的绝热演化映射为具有固定光学元件的静态线性光学电路。
• 采用随机化Trotter公式（RTF）来建模和分析光学元件参数波动的影响。
• 利用光子自由度（如偏振、空间模式）编码量子比特，并通过无源线性光学实现幺正操作。
• 通过直接对$H_p$进行对角化，数值评估模拟最终态与真实基态之间的保真度$|\braket{\tilde{\rho}_{ad}}{\rho_f}|^2$。
• 分析三种哈密顿量类型下所需Trotter数$k$对系统尺寸$N$的依赖关系：五对角（低密度）、稀疏（固定50%密度）和完全稠密（100%密度）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过静态光子阵列有效实现绝热量子模拟，以消除时间依赖控制带来的动力学误差？
• RQ2 对于不同稀疏模式的问题哈密顿量$H_p$，所需Trotter数$k$如何随系统尺寸$N$标度？
• RQ3 光学元件参数波动在多大程度上影响$k$与$N$的标度关系？
• RQ4 随机化Trotter公式是否能准确建模实验不完善性对模拟保真度的影响？
• RQ5 该方法能否实现对经典难以求解问题（如矩阵对角化）的高保真基态制备？

主要发现

• 当哈密顿量$H_p$的非零非对角元密度较低时（如五对角情形），Trotter数$k$随系统尺寸$N$亚线性增长，此时$k$几乎保持恒定。
• 对于具有50%非零非对角元的稀疏$H_p$，标准Trotter化下$k$随$N$线性增长，斜率为$0.80$；随机化Trotter公式下斜率为$0.88$。
• 对于完全稠密的$H_p$，标准Trotter化下$k$随$N$线性增长，斜率为$1.62$；随机化Trotter公式下斜率为$1.63$，表明所需步数相比稀疏情形翻倍。
• $k$随$N$的标度对参数波动具有鲁棒性，因为所有哈密顿量类型下标准与随机化Trotter公式的斜率几乎相同。
• 主要误差来源是Trotter-Suzuki展开中的$O(1/k)$项，而非时间步长$\tau_a$的波动，这证实了该方法对实验不完善性的鲁棒性。
• 数值结果表明，稠密和稀疏情形下$E_{pg}^2 \rightarrow \text{const} \times N$，解释了$k$随$N$线性增长的原因；而五对角情形由于$E_{pg}$有界，$k$几乎恒定。