[论文解读] Adjoint orbits of semi-simple Lie groups and Lagrangean submanifolds

Elizabeth Gasparim, Lino Grama+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文建立了半单李群的伴随轨道的多种几何实现，将其识别为旗流形的余切丛及旗流形的乘积。论文构造了G在余切丛上的传递哈密顿作用，证明了其作用通过其作用的动量映射与伴随轨道相联系，并通过反全纯映射的图像构造了拉格朗日子流形，为Fukaya范畴与Lefschetz纤维化提供了辛几何框架。

ABSTRACT

We give various realizations of the adjoint orbits of a semi-simple Lie group and describe their symplectic geometry. We then use these realizations to identify a family of Lagrangean submanifolds of the orbits.

研究动机与目标

• 为半单李群的伴随轨道提供新的几何实现，特别是作为旗流形的余切丛。
• 在余切丛T*F_H上构造一个不同于标准线性作用的传递哈密顿G-作用。
• 将伴随轨道嵌入旗流形的乘积F_H × F_H*中，继承其辛结构与赫尔米特结构。
• 通过反全纯映射的图像与K-轨道，构造伴随轨道中的拉格朗日子流形。
• 将这些构造与辛拓扑中Fukaya范畴与Lefschetz纤维化的几何联系起来。

提出的方法

• 通过P_H₀-表示将伴随轨道Ad(G)H₀实现为旗流形F_H₀ ≅ G/P_H₀上的向量丛。
• 利用伴随丛构造证明该向量丛同构于余切丛T*F_H₀。
• 在T*F_H₀上构造一个与g同构的哈密顿向量场李代数θ(g)，其积分给出传递的G-作用。
• 利用动量映射μ: T*F_H₀ → g，证明μ的像为Ad(G)H₀，且其逆同构为Ad(G)H₀ ≅ T*F_H₀。
• 通过G的对角作用将伴随轨道嵌入F_H₀ × F_H₀*，并识别G/Z_H₀为开稠密轨道。
• 通过以H₀为最高权的g的不可约表示，将轨道实现为V⊗V*中的G-轨道，并利用此构造拉格朗日子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将半单李群的伴随轨道实现为旗流形的余切丛？
• RQ2 能否在T*F_H₀上构造一个不同于标准线性作用的传递哈密顿G-作用？
• RQ3 动量映射在将T*F_H₀与伴随轨道Ad(G)H₀相联系中起什么作用？
• RQ4 将伴随轨道嵌入旗流形乘积中，如何为其赋予辛结构与赫尔米特结构？
• RQ5 哪些拉格朗日子流形来自旗流形之间反全纯映射的图像？它们在轨道中如何实现？

主要发现

• 伴随轨道Ad(G)H₀作为G-流形同构于余切丛T*F_H₀，且T*F_H₀上的G-作用是传递的且为哈密顿作用。
• 动量映射μ: T*F_H₀ → g是到Ad(G)H₀的G-等变微分同胚，提供了辛同胚。
• 伴随轨道作为F_H₀ × F_H₀*中的开稠密G-轨道被嵌入，继承了乘积的辛结构与赫尔米特结构。
• Ad(G)H₀中的拉格朗日子流形被实现为映射m∘R_w₀: F_H₀ → F_H₀*的图像，其中m ∈ T，其特征由条件ker ε = v⊥给出。
• v₀⊗ε₀在V⊗V*中的K-轨道对应于伴随轨道与i𝔲的交集，并与R_w₀的图像相等同。
• 在同构Φ: G·(v₀⊗ε₀) → Ad(G)H₀下，m∘R_w₀图像的原像为集合{v⊗ρ_μ*(m)ε ∈ G·(v₀⊗ε₀) : ker ε = v⊥}。