[论文解读] Adjoint quotients of reductive groups

Ting-Yu Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文证明了任意交换环上半单代数群的伴随商在基变换下是稳定的，并且同构于极大环面的 Weyl 群商。对于常型的半单单连通群，伴随商同构于 Dynkin 图上的仿射直线的 Weil 延拓；当群为拟分裂且无 $A_{2m}$-型分量时，Steinberg 的截面可在任意交换环上定义。

ABSTRACT

Let $ G$ be a reductive group over a commutative ring $k$. In this article, we prove that the adjoint quotient $\adqG$ is stable under base change. Moreover, if $ G$ has a maximal torus $ T$, then the adjoint quotient of the torus $ T$ by its Weyl group will be isomorphic to $\adqG$. Then we focus on the semisimple simply connected group $ G$ of the constant type. In this case, $\adqG$ is isomorphic to the Weil restriction $\underset{ D/\spec k}{\prod}\aff^{1}_ D$, where $ D$ is the Dynkin scheme of $ G$. Then we prove that for such $ G$, the Steinberg's cross-section can be defined over $k$ if $ G$ is quasi-split and without $ A_{2m}$-type components

研究动机与目标

• 为任意交换环上的半单代数群定义并研究其伴随商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$。
• 证明伴随商在基变换下是稳定的，并且同构于极大环面的 Weyl 群商。
• 将常型半单单连通群的伴随商刻画为 Dynkin 图上仿射直线的 Weil 延拓。
• 建立在任意交换环上定义 Steinberg 截面的条件。
• 证明在半局部环上存在半单正则元素，且其中心化子为极大环面。

提出的方法

• 将伴随商定义为 $\mathrm{G}//\mathrm{G} = \mathrm{Spec}(k[\mathrm{G}]^\mathrm{G})$，即 $\mathrm{G}$ 上 $\mathrm{G}$-不变正则函数环的谱。
• 利用 $\mathrm{G}$ 在 $k[\mathrm{G}]$ 上的共轭作用，诱导出对极大环面 $\mathrm{T}$ 的 $\mathrm{W}$-作用，从而得到 $\mathrm{T}//\mathrm{W} = \mathrm{Spec}(k[\mathrm{T}]^\mathrm{W})$。
• 证明限制映射 $k[\mathrm{G}]^\mathrm{G} \to k[\mathrm{T}]^\mathrm{W}$ 诱导出 $\mathrm{T}//\mathrm{W} \xrightarrow{\sim} \mathrm{G}//\mathrm{G}$ 的同构关系，先在 $\mathbb{Z}$ 上证明，再推广至任意交换环。
• 对常型半单单连通群，证明 $\mathrm{G}//\mathrm{G} \cong \prod_{\mathrm{D}/\mathrm{Spec}\,k} \mathbb{A}^1_{\mathrm{D}}$，其中 $\mathrm{D}$ 为 Dynkin 图。
• 当 $\mathrm{G}$ 为拟分裂且无 $A_{2m}$-型分量时，利用伴随商与仿射直线乘积的同构关系，在 $k$ 上构造 Steinberg 的截面。
• 在半局部环上，通过从剩余域提升及幂零子群点的满射性，证明 $\mathrm{G}$ 包含半单正则元素，其中心化子为极大环面。

实验结果

研究问题

• RQ1 交换环上半单代数群的伴随商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ 是否在基变换下稳定？
• RQ2 当 $\mathrm{G}$ 包含极大环面时，同构关系 $\mathrm{T}//\mathrm{W} \xrightarrow{\sim} \mathrm{G}//\mathrm{G}$ 是否在任意交换环上成立？
• RQ3 常型半单单连通群的伴随商能否描述为 Dynkin 图上仿射直线的 Weil 延拓？
• RQ4 在何种条件下，可在任意交换环上定义 Steinberg 的截面？
• RQ5 半局部环上的半单单连通群是否包含一个半单正则元素，其中心化子为极大环面？

主要发现

• 对任意交换环 $k$ 上的半单代数群 $\mathrm{G}$，其伴随商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ 在基变换下是稳定的。
• 对含极大环面 $\mathrm{T}$ 的半单代数群 $\mathrm{G}$，其伴随商 $\mathrm{G}//\mathrm{G}$ 同构于 $\mathrm{T}//\mathrm{W}$，即 $\mathrm{T}$ 关于其 Weyl 群的商。
• 对交换环 $k$ 上的常型半单单连通群，有 $\mathrm{G}//\mathrm{G} \cong \prod_{\mathrm{D}/\mathrm{Spec}\,k} \mathbb{A}^1_{\mathrm{D}}$，其中 $\mathrm{D}$ 为 $\mathrm{G}$ 的 Dynkin 图。
• 当 $\mathrm{G}$ 为拟分裂且无 $A_{2m}$-型分量时，Steinberg 的截面可在 $k$ 上定义。
• 在半局部环 $k$ 上，常型半单单连通群 $\mathrm{G}$ 包含一个半单正则元素 $g$，使得 $\underline{\mathrm{Centr}}_{\mathrm{G}}(g)$ 为极大环面。
• 此类群中半单正则元素的中心化子不总是光滑的，例如在 $\mathrm{PGL}_{2,k}$ 中取 $k = \mathbb{C}[[x]]$ 时存在反例。