[论文解读] Adjointability of densely defined closed operators and the Magajna-Schweizer Theorem

Michael Frank, Kamran Sharifi|arXiv (Cornell University)|May 17, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 25

一句话总结

该论文证明了：在 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 上的希尔伯特 $C^*$-模之间，一个定义稠密的闭算子是正则的，当且仅当 $\mathcal{A}$ 是紧算子的 $C^*$-代数。该文进一步证明，所有此类算子的伴随可定义性等价于 $\mathcal{A}$ 是紧算子的 $C^*$-代数，从而解决了希尔伯特 $C^*$-模上无界算子理论中的一个关键问题。

ABSTRACT

In this notes unbounded regular operators on Hilbert $C^*$-modules over arbitrary $C^*$-algebras are discussed. A densely defined operator $t$ possesses an adjoint operator if the graph of $t$ is an orthogonal summand. Moreover, for a densely defined operator $t$ the graph of $t$ is orthogonally complemented and the range of $P_FP_{G(t)^\bot}$ is dense in its biorthogonal complement if and only if $t$ is regular. For a given $C^*$-algebra $\mathcal A$ any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules is regular, if and only if any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules admits a densely defined adjoint operator, if and only if $\mathcal A$ is a $C^*$-algebra of compact operators. Some further characterizations of closed and regular modular operators are obtained. Changes 1: Improved results, corrected misprints, added references. Accepted by J. Operator Theory, August 2007 / Changes 2: Filled gap in the proof of Thm. 3.1, changes in the formulations of Cor. 3.2 and Thm. 3.4, updated references and address of the second author.

研究动机与目标

• 表征希尔伯特 $C^*$-模上定义稠密的闭算子何时具有伴随算子且为正则算子。
• 确定 $C^*$-代数的条件，使得所有定义稠密的闭 $\mathcal{A}$-线性算子均具有定义稠密的伴随算子。
• 建立正则性与伴随可定义性的完整表征，其条件为底层 $C^*$-代数同构于紧算子的 $C^*$-代数。
• 阐明希尔伯特 $C^*$-模中算子图像的正交补与正则性之间的关系。
• 将 Magajna-Schweizer 定理推广至任意 $C^*$-代数上的希尔伯特 $C^*$-模中无界正则算子的设定。

提出的方法

• 将定义稠密的闭算子 $t$ 的图像视为 $E \oplus F$ 的子模，并研究该图像何时为正交直和项。
• 利用 $P_F P_{G(t)^ot}$ 的值域在其双正交补中稠密作为正则性的刻画条件。
• 通过 $\mathcal{A}$-值内积恒等式 $\langle tx, y\rangle_F = \langle x, t^*y\rangle_E$（其中 $x \in \text{Dom}(t)$，$y \in \text{Dom}(t^*)$）来定义伴随可定义性。
• 证明：若每个定义稠密的闭算子均具有定义稠密的伴随算子，则 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 必须是紧算子的 $C^*$-代数。
• 利用由极小投影诱导的 $*$-同构 $\Phi: B(E) \to B(E_e)$，将问题约化为希尔伯特空间情形，其中 $E_e = eE$。
• 利用双射 $t \mapsto F_t = t(1 + t^*t)^{-1/2}$，将希尔伯特 $C^*$-模上的无界算子与希尔伯特空间上的有界算子联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希尔伯特 $C^*$-模上的定义稠密的闭算子具有伴随算子？
• RQ2 在何种 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 条件下，所有希尔伯特 $\mathcal{A}$-模之间的定义稠密的闭 $\mathcal{A}$-线性算子均为正则算子？
• RQ3 在何种条件下，定义稠密的闭算子的伴随算子也是定义稠密的？
• RQ4 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 的结构如何影响无界算子的伴随算子存在性与正则性？
• RQ5 在何种程度上，希尔伯特 $C^*$-模上的无界算子可通过极小投影约化为希尔伯特空间上的算子？

主要发现

• 希尔伯特 $\mathcal{A}$-模之间定义稠密的闭算子 $t$ 是正则的，当且仅当 $t$ 的图像在正交补中，且 $P_F P_{G(t)^\perp}$ 的值域在其双正交补中稠密。
• 所有希尔伯特 $\mathcal{A}$-模之间定义稠密的闭 $\mathcal{A}$-线性算子均为正则算子，当且仅当 $\mathcal{A}$ 是紧算子的 $C^*$-代数。
• 所有希尔伯特 $\mathcal{A}$-模之间定义稠密的闭 $\mathcal{A}$-线性算子均具有定义稠密的伴随算子，当且仅当 $\mathcal{A}$ 是紧算子的 $C^*$-代数。
• 所有希尔伯特 $\mathcal{A}$-模之间定义稠密的闭 $\mathcal{A}$-线性算子的核与像（具有范数闭合值域）均为正交直和项，当且仅当 $\mathcal{A}$ 是紧算子的 $C^*$-代数。
• 对于任意不允许可分 $*$-表示为紧算子子代数的 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$，存在一个定义稠密的闭算子，其非正则且其伴随算子亦非定义稠密。
• 存在一个保持伴随的双射，将希尔伯特 $\mathcal{K}(H)$-模 $E$ 上的定义稠密的闭算子与希尔伯特空间 $E_e = eE$ 上的算子对应起来，该双射由 $*$-同构 $\Phi$ 和映射 $t \mapsto t(1 + t^*t)^{-1/2}$ 诱导。