[论文解读] Adjointable monoidal functors and quantum groupoids

Kornél Szlachányi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 23

一句话总结

本文通过可分Frobenius结构，建立了从弱双代数的模范畴到向量空间的长遗忘函子的刻画。通过证明每个张量函子都可通过可分Frobenius代数上的双模范畴分解，该研究将Tannaka对偶性推广至弱双代数与量子群胚，借助单子与双单子理论，证明当基代数上配备可分Frobenius结构时，此类函子恰好来源于弱双代数。

ABSTRACT

Every monoidal functor G: C --> M has a canonical factorization through the category of bimodules over some monoid R in M such that the factor U: C -->_R M_R is strongly unital. Using this result and the characterization of the forgetful functors M_A -->_R M_R of bialgebroids A over R given by Schauenburg together with their bimonad description given by the author recently here we characterize the "long" forgetful functors M_A -->_R M_R --> M of both bialgebroids and weak bialgebras.

研究动机与目标

• 将Tannaka对偶性从强张量函子推广至量子群胚背景下的普通张量函子。
• 刻画与弱双代数相关的长遗忘函子 $ G^A: \nolimits \mathcal{M}_A \to \mathcal{M}_k $。
• 识别出张量函子作为此类遗忘函子的充要条件——即基代数上存在可分Frobenius结构。
• 通过在基代数上引入Frobenius数据，将双单子对双胚代数的刻画推广至弱双代数。

提出的方法

• 将任意张量函子 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M} $ 通过 $ R $-双模范畴 $ {}_R\mathcal{M}_R $ 分解，其中 $ R = GE $ 为函子 $ G $ 下单位对象的像。
• 利用自然分解证明：$ G $ 本质上是强张量函子当且仅当其允许一个可分Frobenius结构。
• 应用Schauenburg对双胚代数遗忘函子的刻画以及作者的双单子描述，将 $ G $ 与 $ A $ 上的双胚代数结构联系起来。
• 通过单位对象的像 $ R = GE $ 引入可分Frobenius结构，其结构映射 $ \mu, \eta, \sigma, \psi $ 由函子的自然变换导出。
• 通过余乘法 $ \Delta(a) = \sum_i a_{(1)}s(e_i) \otimes a_{(2)}t(f_i) $ 和余元 $ \epsilon(a) = \psi(\varepsilon(a)) $ 定义 $ A $ 上的弱双代数结构，其中 $ \sigma(1_R) = \sum_i e_i \otimes f_i $。
• 证明：若 $ R $ 上存在可分Frobenius结构，则双胚代数 $ A $ 可扩展为弱双代数，利用Frobenius结构与双胚代数结构之间的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，张量函子 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M}_k $ 作为弱双代数的长遗忘函子出现？
• RQ2 如何从张量函子 $ G $ 下单位对象的像重构弱双代数的基代数 $ R $？
• RQ3 函子 $ G $ 需具备何种额外结构，才能确保其关联的双胚代数结构 $ A $ 扩展为弱双代数？
• RQ4 基代数 $ R = GE $ 上可分Frobenius结构的存在性如何刻画弱双代数的遗忘函子 $ G^A $ ？
• RQ5 函子 $ G $ 的张量结构、其右伴随函子与 $ R $ 上的Frobenius结构之间的相互作用，如何导致弱双代数的Tannaka型重构？

主要发现

• 每个 $ k $-线性张量函子 $ G: \mathcal{C} \to \mathcal{M}_k $ 都存在一个通过 $ {}_R\mathcal{M}_R $ 的自然分解，其中 $ R = GE $，且分解函子 $ U: \mathcal{C} \to {}_R\mathcal{M}_R $ 严格保持单位元并保持张量结构。
• 一个 $ k $-线性张量函子 $ G $ 同构于弱双代数的长遗忘函子当且仅当其为单子的、具有右伴随函子，并在函子上携带可分Frobenius结构。
• 基代数 $ R = GE $ 从 $ G $ 上的可分Frobenius结构继承了可分Frobenius代数结构，其乘法 $ \mu = G\ell_E \circ G_{E,E} $，单位 $ \eta = G_0 $，余乘法 $ \sigma = G^{E,E} \circ G\ell_E^{-1} $，余元 $ \psi = G^0 $。
• 弱双代数结构 $ A $ 通过 $ \Delta(a) = \sum_i a_{(1)}s(e_i) \otimes a_{(2)}t(f_i) $ 和 $ \epsilon(a) = \psi(\varepsilon(a)) $ 重构，其中 $ \sum_i e_i \otimes f_i = \sigma(1_R) $，确保与双胚代数结构相容。
• 该构造表明，$ R $ 上的可分Frobenius结构足以将双胚代数扩展为弱双代数，从而将经典的Tannaka-Krein对偶性推广至非交换基代数。
• 该结果通过在基代数上具有可分Frobenius结构的张量函子刻画其模范畴，建立了弱双代数的完整Tannaka对偶性。