[论文解读] Adjunction contexts and regular quasi-monads

Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文通过函子的类伴随配对引入弱单子与余单子的范畴框架，表明任意范畴 A 上的弱（余）单子均可诱导 A 与兼容（余）模范畴之间的正规配对。核心贡献在于从广义伴随情境系统推导出弱（余）单子，通过模理论统一其结构。

ABSTRACT

For functors $L:\A o \B$ and $R:\B o \A$ between any categories $\A$ and $\B$, a {\em pairing} is defined by maps, natural in $A\in \A$ and $B\in \B$, $$\xymatrix{\Mor_\B (L(A),B) \ar@ [r]^{\alpha} & \Mor_\A (A,R(B))\ar@ [l]^{\beta}}.$$ $(L,R)$ is an {\em adjoint pair} provided $\alpha$ (or $\beta$) is a bijection. In this case the composition $RL$ defines a monad on the category $\A$, $LR$ defines a comonad on the category $\B$, and there is a well-known correspondence between monads (or comonads) and adjoint pairs of functors. For various applications it was observed that the conditions for a unit of a monad was too restrictive and weakening it still allowed for a useful generalised notion of a monad. This led to the introduction of {\em weak monads} and {\em weak comonads} and the definitions needed were made without referring to this kind of adjunction. The motivation for the present paper is to show that these notions can be naturally derived from pairings of functors $(L,R,\alpha,\beta)$ with $\alpha = \alpha\dcirc \beta\dcirc \alpha$ and $\beta = \beta \dcirc\alpha\dcirc\beta$. Following closely the constructions known for monads (and unital modules) and comonads (and counital comodules), we show that any weak (co)monad on $\A$ gives rise to a regular pairing between $\A$ and the category of {\em compatible (co)modules}.

研究动机与目标

• 通过放宽单位与余单位条件，将经典伴随函子与单子之间的对应关系推广至弱单子。
• 通过引入具有部分可逆性的函子配对，提出一种更灵活的框架以弥补标准单子的局限性。
• 表明弱（余）单理由范畴与其兼容（余）模范畴之间的正规配对自然产生。
• 通过函子配对建立弱（余）单子与其相关（余）模结构之间的范畴对偶性。

提出的方法

• 通过自然变换 $\alpha: \Mor_\B(L(A), B) \to \Mor_\A(A, R(B))$ 与 $\beta$ 定义函子 $L: \A \to \B$ 与 $R: \B \to \A$ 之间的配对，满足 $\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ 与 $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$。
• 引入正规配对的概念，作为伴随的推广：自然变换 $\alpha$ 与 $\beta$ 不必为双射，但需满足弱可逆性条件。
• 从此类配对构造 $\A$ 上的弱单子 $RL$ 与 $\B$ 上的弱余单子 $LR$，推广标准单子与余单子的构造。
• 定义弱（余）单子上的兼容模与余模，证明其构成一个范畴，可通过相同的函子配对与基范畴自然配对。
• 利用此类配对的结构，恢复弱（余）模的普遍性质，类比于标准模理论。
• 证明每个 $\A$ 上的弱（余）单子均诱导 $\A$ 与兼容（余）模范畴之间的正规配对，建立对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖标准单位与余单位公理的前提下，从广义伴随情境系统推导出弱单子？
• RQ2 弱（余）单子与其兼容（余）模之间关系的范畴结构是什么？
• RQ3 能否通过广义配对框架将经典伴随与单子之间的对应关系扩展至弱单子？
• RQ4 何种条件可确保函子配对在兼容（余）模范畴上诱导出正规结构？
• RQ5 弱（余）模的普遍性质如何从配对关系 $\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ 与 $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ 中涌现？

主要发现

• 任意范畴 $\A$ 上的弱单子均可诱导 $\A$ 与该弱单子兼容模范畴之间的正规配对。
• 该构造通过将双射自然变换替换为满足 $\alpha = \alpha \circ \beta \circ \alpha$ 与 $\beta = \beta \circ \alpha \circ \beta$ 的弱可逆变换，推广了经典伴随-单子对应关系。
• 弱单子上的兼容模范畴通过所诱导的配对获得良好行为的结构，其角色类似于标准单子理论中的模。
• 类似地，$\B$ 上的每个弱余单子均诱导 $\B$ 与兼容余模范畴之间的正规配对。
• 该框架通过将弱（余）单子嵌入广义伴随情境中，为其提供了统一的范畴基础。
• 研究结果通过所定义的配对结构，建立了弱（余）单子与其兼容（余）模范畴之间的对偶性。