[论文解读] Adjusted Jackknife Empirical Likelihood

Ying‐Ju Chen, Wei Ning|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出了一种名为调整自助经验似然（AJEL）的新方法，该方法结合了自助经验似然（JEL）的计算优势与调整经验似然（AEL）的解存在性保证。通过引入一个人工伪观测值，确保零向量位于自助伪值的凸包内，AJEL 保证了对所有参数值的经验似然比均有定义，同时保持了威尔克斯定理，并在小样本中提升了覆盖率，而无需巴特莱特校正或自助校准。

ABSTRACT

Jackknife empirical likelihood (JEL) is an effective modified version of empirical likelihood method (EL). Through the construction of the jackknife pseudo-values, JEL overcomes the computational difficulty of EL method when its constraints are nonlinear while maintaining the same asymptotic results for one sample and two-sample U statistics. In this paper, we propose an adjusted version of JEL to guarantee that the adjusted jackknife empirical likelihood (AJEL) statistic is well-defined for all the values of the parameter, instead of restricting on the convex hull of the estimation equation. The properties of JEL have been preserved for AJEL.

研究动机与目标

• 解决在非线性约束条件下经验似然（EL）方法的计算局限性，特别是在 U-统计量设置中。
• 克服在 JEL 中，当零向量不在估计方程的凸包内时，经验似然比可能无定义的问题。
• 将调整经验似然（AEL）的解稳定性与 JEL 在 U-统计量中的计算简便性相结合。
• 在单样本和双样本 U-统计量下，为 AJEL 建立威尔克斯定理，确保对数似然比渐近服从卡方分布。
• 与标准 JEL 相比，提高置信区间的覆盖率，尤其在小样本中，且无需巴特莱特校正或自助校准。

提出的方法

• 构造自助伪值 $\widehat{V}_i = nU_n - (n-1)U_{n-1}^{(-i)}$，将非线性约束转化为线性约束。
• 引入一个人工伪观测值 $\widehat{V}_{n+1} = -a_n U_n$，其中 $a_n = \log n / 2$，以确保零向量位于伪值的凸包内。
• 对 $n+1$ 个伪值应用调整经验似然，定义似然函数为 $L(\theta) = \max \prod_{i=1}^{n+1} p_i$，满足 $\sum p_i = 1$ 和 $\sum p_i (\widehat{V}_i - \theta) = 0$，其中 $p_i$ 为概率权重。
• 推导调整后的对数似然比 $\ln R(\theta) = -\sum_{i=1}^{n+1} \ln(1 + \lambda (\widehat{V}_i - \theta))$，其中 $\lambda$ 由一个矩条件求解。
• 为 AJEL 建立威尔克斯定理，证明在正则条件下 $-2\ln R(\theta) \xrightarrow{d} \chi^2_1$。
• 利用所得的枢轴统计量，为通过 U-统计量定义的参数（如 $P(X < Y)$ 或 $P(X < Y)$ 的差异）构造置信区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 调整经验似然框架能否扩展至自助经验似然设置，以确保所有参数值的经验似然比均有定义？
• RQ2 所提出的 AJEL 方法是否在保持 JEL 的渐近分布性质（即威尔克斯定理）的同时，提升了有限样本的覆盖率精度？
• RQ3 在小样本中，AJEL 与 JEL 在覆盖率和区间长度方面有何差异？
• RQ4 AJEL 能否在不需自助校准或巴特莱特校正的情况下，应用于涉及 U-统计量的真实世界数据？
• RQ5 引入人工伪观测值是否会保持原始 JEL 方法的效率与稳健性？

主要发现

• AJEL 通过添加人工观测值，确保了零向量位于自助伪值的凸包内，从而保证了对所有参数值的经验似然比均有定义。
• 模拟结果表明，AJEL 在覆盖率方面优于 JEL，尤其在小样本中：当 (n1,n2)=(10,10) 时，AJEL 在 90% 置信水平下达到 86.0% 的覆盖率（JEL 为 83.5%）。
• 当 (n1,n2)=(15,15) 时，AJEL 在 95% 置信水平下达到 88.5% 的覆盖率（JEL 为 87.8%），显示出一致的改进。
• 在 DMD 数据示例中，AJEL 对 $P(X<Y)$ 生成了 90% 置信区间 (0.8101, 0.9071) 和 95% 置信区间 (0.7984, 0.9145)，与 JEL 结果仅有微小差异，但保证了解的存在性。
• 对于诊断准确率差异 ($P(X^1<Y^1) - P(X^2<Y^2)$)，AJEL 得到 90% 置信区间 (0.1065, 0.2813) 和 95% 置信区间 (0.0890, 0.2983)，支持 CK 比 H 水平更高效。
• 该方法保持了威尔克斯定理，即 $-2\ln R(\theta) \xrightarrow{d} \chi^2_1$，在标准正则条件下确保了置信区间的渐近有效性。