[论文解读] Admissible vectors and traces on the commuting algebra

Hartmut Fuehr|ArXiv.org|Sep 19, 2002

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文建立了单模局部紧群的酉表示中可接受向量的迹准则，表明可接受向量恰好对应于正则表示的交换代数上唯一有限迹的迹向量。主要贡献是通过与群希尔伯特代数相关的冯诺依曼代数上的迹，将加博分析中的 Wexler-Raz 双正交关系推广至一般情形。

ABSTRACT

Given a representation of a unimodular locally compact group, we discuss criteria for associated coherent state expansions in terms of the commuting algebra. It turns out that for those representations that admit such expansions there exists a unique finite trace on the commuting algebra such that the admissible vectors are precisely the tracial vectors for that trace. This observation is immediate from the definition of the group Hilbert algebra and its associated trace. The trace criterion allows to discuss admissibility in terms of the central decomposition of the regular representation. In particular, we present a new proof of the admissibility criteria derived for the type I case. In addition we derive admissibility criteria which generalize the Wexler-Raz biorthogonality relations characterizing dual windows for Weyl-Heisenberg frames.

研究动机与目标

• 为单模局部紧群的酉表示中可接受向量的存在性与表征建立一般准则。
• 用正则表示的中心分解替代不可约分解，以分析可接受性。
• 建立可接受对与交换冯诺依曼代数 $VN_r(G)$ 上迹之间的联系。
• 通过迹理论方法，推广 Weyl-Heisenberg 框架的 Wexler-Raz 双正交关系。
• 利用交换代数上的迹结构，为 I 型情形下的可接受性准则提供新证明。

提出的方法

• 利用群希尔伯特代数及其在右群冯诺依曼代数 $VN_r(G)$ 上的忠实、正规、半有限迹。
• 通过条件 $V_\eta^* V_\psi = \text{Id}$ 在表示空间 $\mathcal{H}_\pi$ 上定义可接受对 $(\eta, \psi)$。
• 证明可接受向量恰好是 $VN_r(G)$ 上唯一有限迹的迹向量，从而将可接受性与迹理论联系起来。
• 应用正则表示 $\lambda_G$ 的中心分解，将可接受对的表征简化为纤维冯诺依曼代数。
• 通过迹结构推导出广义 Wexler-Raz 条件形式的正交关系。
• 将该框架应用于 Weyl-Heisenberg 群，恢复加博框架中对偶窗的标准双正交条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 交换代数上的迹在表征酉群表示中可接受向量时起什么作用？
• RQ2 如何利用正则表示的中心分解，将可接受性准则推广至 I 型以外的情形？
• RQ3 加博框架的 Wexler-Raz 双正交关系能否从一般迹理论框架中推导出来？
• RQ4 在群希尔伯特代数的背景下，可接受向量与迹向量之间的精确关系是什么？
• RQ5 迹准则如何简化或推广文献中已有的可接受性条件？

主要发现

• 在交换冯诺依曼代数 $VN_r(G)$ 上存在唯一有限迹，使得某表示的可接受向量恰好是该迹的迹向量。
• 对 $(\eta, \psi)$ 的可接受性等价于条件 $V_\eta^* V_\psi = \text{Id}$，该条件通过 $VN_r(G)$ 上的迹表征。
• 对于 Weyl-Heisenberg 群，条件 $\langle M_{m/\beta}T_{n/\alpha}\gamma, g \rangle = \alpha\beta \delta_{m,0}\delta_{n,0}$ 作为一般迹准则的特例被导出。
• 本文通过迹理论分解，为 I 型情形下的可接受性准则提供了新证明，推广了早期结果。
• 迹准则使得可通过对偶格上的正交关系表征可接受对，推广了 Wexler-Raz 条件。
• 证明了向量 $\eta_0 = \sqrt{\alpha} \chi_{[0,\beta)}$ 在 Weyl-Heisenberg 表示下是可接受的，从而验证了基于迹的准则。