[论文解读] Advanced field-theoretical methods in stochastic dynamics and theory of developed turbulence

Michal Hnatič, Juha Honkonen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 15被引用 9

一句话总结

该论文通过提出随机微分方程和主方程解的泛函表示，推进了随机动力学与湍流的场论方法，尤其解决了乘性噪声和重整化歧义问题。它应用多参数重整化方案——特别是最小减缩方案——研究各向同性湍流，通过重整化群揭示了螺旋度和各向异性引起的对称性破缺效应，并分析了反应-扩散系统中湍流输运的定量标度行为。

ABSTRACT

Selected recent contributions involving fluctuating velocity fields to the rapidly developing domain of stochastic field theory are reviewed. Functional representations for solutions of stochastic differential equations and master equations are worked out in detail with an em- phasis on multiplicative noise and the inherent ambiguity of the functional method. Application to stochastic models of isotropic turbulence of multi-parameter expansions in regulators of dimensional and analytic renormalization is surveyed. Effects of the choice of the renormalization scheme are investigated. Special attention is paid to the role and properties of the minimal subtraction scheme. Analysis of the consequences of symmetry breaking of isotropic turbulence with the use of the renormalization-group method is demonstrated by the effects due to helicity, strong and weak anisotropy. A careful description is given of the influence of turbulent advection on paradigmatic reaction-diffusion problems.

研究动机与目标

• 开发并系统化求解带有乘性噪声的随机微分方程和主方程的泛函场论方法。
• 通过分析福克-普朗克方程和朗之万方程背景下时间有序与正常有序约定，解决泛函表示中的固有歧义。
• 应用多参数重整化方案——特别是最小减缩方案——研究各向同性湍流及其对称性破缺不稳定性。
• 利用重整化群研究螺旋度、强各向异性和弱各向异性对充分发展湍流中标度行为的影响。
• 通过场论与重整化技术分析湍流输运对典型反应-扩散过程的影响。

提出的方法

• 利用福克-普朗克方程和朗之万方程的路径积分公式，推导随机过程的泛函积分表示。
• 引入约化算子 $\mathcal{P} = \exp\left(\frac{\delta}{\delta\varphi}\Delta_{12}\frac{\delta}{\delta\pi}\right)$，将算子泛函映射为其正常有序形式。
• 使用带有源 $A(t)$ 和 $B(t)$ 的生成泛函形式，通过 $\mathcal{G}(A) = \mathrm{Tr}\left[\hat{U}(t_i,0)\hat{\rho}\hat{U}(0,t_f) N\left\{\exp\left(\int \cdots \right)\right\}\right]$ 计算期望值。
• 采用相互作用表象，结合时间有序指数与正常排序，处理李想-冯诺依曼方程中非对易算子的问题。
• 使用维度调节与解析调节处理湍流模型微扰展开中的紫外发散。
• 采用重整化群分析各向同性与各向异性湍流中的标度行为与临界指数，重点关注最小减缩方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为带有乘性噪声的随机微分方程一致地构造泛函积分表示？
• RQ2 时间有序与正常有序歧义在随机过程的场论表述中起什么作用？
• RQ3 不同重整化方案——特别是最小减缩方案——如何影响各向同性湍流的标度行为？
• RQ4 螺旋度与各向异性对充分发展湍流临界指数的重整化群效应是什么？
• RQ5 湍流输运在存在噪声的情况下如何改变反应-扩散系统的动力学与标度行为？

主要发现

• 当等时点的时间有序乘积被定义为正常有序乘积时，随机方程的泛函方法才具有一致性，从而确保 $\Delta_{12}(t,t) = 0$。
• 最小减缩方案被证明在分离各向同性湍流模型中的普遍标度行为方面尤为有效。
• 由螺旋度与各向异性引起的对称性破缺导致不同的重整化群流，改变临界指数与标度律。
• 湍流输运对反应-扩散系统引入非平凡修正，改变有效反应速率与标度维数。
• 重整化群分析表明，湍流模型中的耦合常数表现出与尺度相关的特性，类似于量子场论中的运行耦合常数。
• 使用多参数调节器展开可系统分析紫外发散及其通过重整化消除的过程。