[论文解读] Advances in Startpoint Theory for quasi-pseudometric spaces

Yaé Ulrich Gaba|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文通过在拟伪度量空间中引入涉及非减、次可加函数 φ 和 η 的广义压缩条件，推进了起点理论的发展，建立了多值映射的新固定点、起点和终点定理。关键贡献在于，在弱于以往已知的完备性与压缩条件之下，证明了起点和终点的存在性，从而扩展了在非对称度量空间中的先前结果。

ABSTRACT

This paper presents some startpoint (endpoint, fixed point) theorems for mutli-valued maps that generalize recent results proved by Y. U. Gaba \cite{rico, ricoo}.

研究动机与目标

• 通过引入更广泛的压缩条件类，推广近期在拟伪度量空间中关于多值映射的固定点结果。
• 在较弱的完备性假设（如左/右 K-完备性与双完备性）下，建立起点与终点存在的条件。
• 通过引入满足特定上极限上确界条件的次可加与非减函数 φ 和 η，统一并扩展非对称度量空间中的现有结果。
• 通过新颖的迭代构造与收敛性论证，提供多值映射中固定点、起点与终点存在的充分条件。

提出的方法

• 引入基于两个函数 φ 与 η 的广义压缩条件，其中对所有 t ≥ 0，满足 φ(t) < η(t) 且 limsup_{r→t⁺} φ(r)/η(r) < 1。
• 为起点分析定义实值函数 f(x) = H({x}, Fx)，为终点分析定义 f(x) = H(Fx, {x})，用以度量 x 到其在 F 下像的距离。
• 通过选择 y ∈ Fx 满足 H({y}, Fy) ≤ c·d(x,y) 或涉及 φ 与 η 的广义不等式，构造序列 (xₙ)。
• 利用 f(xₙ) 的递减性与 φ(H({xₙ}, {xₙ₊₁})) 的收敛性，证明序列 (xₙ) 是左 K-柯西列。
• 通过子可加性与几何衰减性，证明 (xₙ) 沿 d⁰ 收敛至极限 x。
• 在完备性假设（左/右 K-完备性或双完备性）下，根据设定条件，得出极限为起点、终点或不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拟伪度量空间上，多值映射在何种条件下存在起点，即满足 H({x}, Fx) = 0？
• RQ2 在非对称空间中，广义 φ-η 压缩条件下能否保证终点（H(Fx, {x}) = 0）的存在？
• RQ3 哪些完备性条件（左 K-完备性、右 K-完备性、双完备性）足以确保迭代序列收敛至不动点？
• RQ4 次可加与非减函数 φ 与 η 的性质如何影响拟伪度量空间中解的收敛性与存在性？
• RQ5 结果能否从左 K-完备性推广至右 K-完备性与双完备性？这些情形下的条件是否对称？

主要发现

• 在左 K-完备的拟伪度量空间上，对任意多值映射 F: X → CB(X)，若存在 c ∈ (0,1)，使得对每个 x ∈ X，存在 y ∈ Fx 满足 H({y}, Fy) ≤ c·d(x,y)，则存在起点。
• 在右 K-完备空间上，对 T: X → B(X)，若存在满足 φ(t) < η(t) 且 limsup_{r→t⁺} φ(r)/η(r) < 1 的函数 φ 与 η，且存在 y ∈ Tx 使得 H(Tx, {x}) ≤ η(H({x}, {y})) 与 f(y) ≤ φ(H({x}, {y}))，则存在终点。
• 在双完备空间上，对 T: X → B(X)，当广义压缩条件成立且满足 η(H⁰({x}, {y})) ≤ min{H({x}, Tx), H(Tx, {x})}，以及存在 y ∈ Tx 使得 f(y) ≤ min{φ(H({x}, {y})), φ(H({y}, {x}))} 时，存在不动点。
• 通过迭代选择构造的序列 (xₙ) 是左 K-柯西列，且在函数 f(xₙ) 以速率 q ∈ (0,1) 几何递减时，沿 d⁰ 收敛至起点。
• 在对偶完备性条件下，结果依然成立：右 K-完备性蕴含终点存在，左 K-完备性蕴含起点存在。
• 使用次可加与非减函数 φ 与 η，可覆盖比标准 c-压缩更广的压缩类，从而增强在非对称空间中的适用性。