[论文解读] Aeppli Cohomology Classes Associated with Gauduchon Metrics on Compact Complex Manifolds

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 13

一句话总结

本文在紧致复流形上引入了一个双次数为 $(n-1,n-1)$ 的 Monge-Ampère 型方程，证明了其在正性和归一化约束下的椭圆性与唯一性。其主要贡献在于为 Gauduchon 锥内每个 Aeppli 上同调类构造了一个典范 Gauduchon 度量，通过 $(n-1)$ 次根构造建立了 $(1,1)$ 与 $(n-1,n-1)$-形式度量之间的对偶性。

ABSTRACT

We propose the study of a Monge-Ampère-type equation in bidegree $(n-1,\,n-1)$ rather than $(1,\,1)$ on a compact complex manifold $X$ of dimension $n$ for which we prove uniqueness of the solution subject to positivity and normalisation restrictions. Existence will hopefully be dealt with in future work. The aim is to construct a special Gauduchon metric uniquely associated with any Aeppli cohomology class of bidegree $(n-1,\,n-1)$ lying in the Gauduchon cone of $X$ that we hereby introduce as a subset of the real Aeppli cohomology group of type $(n-1,\,n-1)$ and whose first properties we study. Two directions for applications of this new equation are envisaged: to moduli spaces of Calabi-Yau $\partial\bar\partial$-manifolds and to a further study of the deformation properties of the Gauduchon cone beyond those given in this paper.

研究动机与目标

• 通过 $(n-1)$ 次根构造，在紧致复流形上建立 $(1,1)$-形式与 $(n-1,n-1)$-形式之间的对偶性。
• 在实 Aeppli 上同调群 $H^{n-1,n-1}_{A}(X,\mathbb{R})$ 中定义并研究 Gauduchon 锥。
• 提出一个双次数为 $(n-1,n-1)$ 的 Monge-Ampère 型方程，该方程在每个上同调类下唯一确定一个特殊 Gauduchon 度量。
• 为 Calabi-Yau $ abla\bar{\partial}$-流形的模空间及 Gauduchon 锥的形变理论奠定基础。

提出的方法

• 利用正 $(n-1,n-1)$-形式的 $(n-1)$ 次根，构造出对应的正 $(1,1)$-形式，从而在双次数 $(n-1,n-1)$ 上建立一个 Monge-Ampère 型方程。
• 在正性和归一化约束下，证明该方程解的椭圆性与唯一性。
• 将 Gauduchon 锥定义为实 Aeppli 上同调群 $H^{n-1,n-1}_{A}(X,\mathbb{R})$ 的子集，并研究其初步性质。
• 利用 Hodge 星算子与迹公式，将度量 $ abla\bar{\partial}$-闭形式的拉普拉斯算子与该形式的 $(n-1)$ 次根联系起来。
• 应用 Lefschetz 对偶性与初等分解，证明在附加条件下，若一个形式在 $d$ 和 $ abla\bar{\partial}$ 下闭合，则其为 Kähler 形式。
• 通过 Hodge 星算子的迹与曲率项，推导出算子线性化主部的不变表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 Gauduchon 锥内每个 $(n-1,n-1)$-双次数的 Aeppli 上同调类唯一关联一个典范 Gauduchon 度量？
• RQ2 Gauduchon 锥在实 Aeppli 上同调群 $H^{n-1,n-1}_{A}(X,\mathbb{R})$ 中的几何与上同调性质是什么？
• RQ3 $(n-1)$ 次根构造如何在紧致复流形上建立 $(1,1)$-形式与 $(n-1,n-1)$-形式之间的对偶性？
• RQ4 Gauduchon 锥的形变性质在本文所建立结果之外还包含哪些？
• RQ5 所提出的双次数为 $(n-1,n-1)$ 的 Monge-Ampère 方程能否全局求解？其对 Calabi-Yau 模空间有何影响？

主要发现

• 证明了双次数为 $(n-1,n-1)$ 的 Monge-Ampère 型方程在正性和归一化约束下具有椭圆性，并存在唯一解。
• 为 Gauduchon 锥内每个 Aeppli 上同调类唯一关联了一个典范 Gauduchon 度量，提供了一类新的几何不变量。
• 将 Gauduchon 锥定义为实 Aeppli 上同调群 $H^{n-1,n-1}_{A}(X,\mathbb{R})$ 的子集，并确立了其初步的拓扑与几何性质。
• 证明了算子 $C(\varphi)^{-1}d_{\varphi}C$ 的线性化主部为二阶椭圆型算子，形式为 $\frac{(n-2)!}{n-1}\Delta_{\tilde{\lambda}}$，其中 $\tilde{\lambda}$ 由度量与形式 $\rho = \star_{\omega}\Lambda$ 定义。
• 导出了迹公式 $\mathrm{tr}_{\gamma}(\star_{\gamma}\Gamma) = \frac{1}{\gamma^n/\omega^n}\langle \gamma, \star_{\omega}\Gamma \rangle_{\omega}$，将 $(n-1)$ 次根结构与 Hodge 星算子结构联系起来。
• 建立了恒等式 $\langle \gamma, i\partial\bar{\partial}h \rangle_{\omega} = (n-1)! \, \Delta_{\star_{\omega}\Lambda} h$，揭示了 $(n-1)$ 次根与对偶形式拉普拉斯算子之间的联系。