[论文解读] Affine connections and singularities of tangent surfaces to space curves

Goo Ishikawa, Tatsuya Yamashita|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文在任意无扭转仿射联络的 ≥3 维流形上，对空间曲线的切线曲面的通用奇点进行了完整分类。通过将测地线的概念推广为通过仿射联络定义的“直线”，证明了奇点的局部微分同胚类型仅有三种：尖点棱线、折叠伞面和燕尾奇点——具体取决于曲线的协变导数的零点阶数与线性独立性，且在三维与高维情形下表现出不同行为。

ABSTRACT

We give the complete solution to the local diffeomorphism classification problem of generic singularities which appear in tangent surfaces, in as wider situations as possible. We interpret tangent geodesics as tangent lines whenever a (semi-)Riemannian metric, or, more generally, an affine connection is given in an ambient space of arbitrary dimension. Then, given an immersed curve, or, more generally a directed curve or a frontal curve which has well-defined tangent directions along the curve, we define the tangent surface as the ruled surface by tangent geodesics to the curve. We apply the characterization of frontal singularities found by Kokubu, Rossman, Saji, Umehara, Yamada, and Fujimori, Saji, Umehara, Yamada, and found by the first author related to the procedure of openings of singularities.

研究动机与目标

• 将经典欧氏三维空间中切线曲面奇点的分类推广至任意无扭转仿射联络下的 ≥3 维流形。
• 通过处理此前未系统分析的非射影平坦情形，填补先前研究的空白。
• 定义并表征 $ abla$-切线曲面为沿曲线或定向曲线由 $ abla$-测地线生成的可展曲面。
• 利用惠特尼 $C^\infty$ 拓扑定义并表征曲线与定向曲线的通用性条件。
• 在三维与高维环境空间中，建立奇点的完整局部微分同胚分类。

提出的方法

• 将 $ abla$-切线曲面定义为在配备无扭转仿射联络 $\nabla$ 的流形中，由与给定曲线或定向曲线相切的 $ abla$-测地线构成的可展曲面。
• 利用协变导数 $\nabla^k\gamma(t_0)$（$k=1,2,3,4,5$）对曲线上每一点 $t_0$ 的奇点类型进行分类。
• 通过喷射横截性与奇点理论进行局部微分同胚分类，将曲面映射的喷射芽与标准模型（如尖点棱线、折叠伞面和燕尾奇点）进行比较。
• 在 ≥4 维中引入“嵌入式尖点棱线”概念，将经典三维尖点棱线推广至更高余维情形。
• 使用微分同胚芽，将 $ abla$-切线曲面映射芽与标准正规型（如 $(t,s) \mapsto (t+s, t^2+2st, t^3+3st^2, 0, \dots, 0)$ 表示的尖点棱线）进行比较。
• 通过惠特尼 $C^\infty$ 拓扑建立通用性，证明在弱横截性条件下，所述奇点类型在通用情形下出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意无扭转仿射联络的流形中，通用曲线的 $ abla$-切线曲面上可能出现的通用奇点类型有哪些？
• RQ2 奇点类型如何依赖于环境流形的维数——特别是区分三维与高维情形？
• RQ3 协变导数 $\nabla^k\gamma(t_0)$ 的哪些条件决定了 $ abla$-切线曲面在 $t_0$ 处局部微分同胚于尖点棱线、折叠伞面或燕尾奇点？
• RQ4 欧氏三维空间中切线曲面奇点的经典分类能否推广至非射影平坦流形？
• RQ5 无扭转曲线在奇点形成中起什么作用？此类曲线是否会产生在射影平坦空间中不存在微分同胚类型的奇点？

主要发现

• 当 $\dim(M) = 3$ 时，通用曲线的 $\nabla$-切线曲面上的唯一通用奇点为尖点棱线与折叠伞面。
• 当 $\dim(M) \geq 4$ 时，通用曲线的 $\nabla$-切线曲面上的唯一通用奇点为嵌入式尖点棱线。
• 当 $\dim(M) = 3$ 时，通用定向曲线的奇点包括尖点棱线、折叠伞面与燕尾奇点。
• 当 $\dim(M) \geq 4$ 时，通用定向曲线的奇点包括嵌入式尖点棱线与开放燕尾奇点。
• $\nabla$-切线曲面在 $t_0$ 处局部微分同胚于尖点棱线，当且仅当 $\nabla\gamma(t_0), \nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0)$ 线性无关。
• $\nabla$-切线曲面在 $t_0$ 处局部微分同胚于折叠伞面，当且仅当 $\nabla\gamma(t_0), \nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0)$ 线性相关，但 $\nabla\gamma(t_0), \nabla^2\gamma(t_0), \nabla^4\gamma(t_0)$ 线性无关。
• $\nabla$-切线曲面在 $t_0$ 处局部微分同胚于燕尾奇点，当且仅当 $\nabla\gamma(t_0) = 0$ 且 $\nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0), \nabla^4\gamma(t_0)$ 线性无关。
• $\nabla$-切线曲面在 $t_0$ 处局部微分同胚于开放燕尾奇点，当且仅当 $\nabla\gamma(t_0) = 0$ 且 $\nabla^2\gamma(t_0), \nabla^3\gamma(t_0), \nabla^4\gamma(t_0), \nabla^5\gamma(t_0)$ 线性无关。
• $(2,5)$-尖点棱线（在射影平坦空间中无任何切线曲面与其微分同胚）可在 $\mathbf{R}^3$ 中通过无扭转仿射联络实现为 $ abla$-切线曲面。