[论文解读] Affine Connections on 3-Sasakian Homogeneous Manifolds

Cristina Draper, Miguel Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用 7

一句话总结

该论文对维度至少为7的3-Sasakian齐性流形上的不变仿射联络进行了分类，识别出具有平行斜张量 torsion 和爱因斯坦性质的联络。结果表明，仅7维例子——S⁷、RP⁷以及Aloff-Wallach空间W⁷₁,₁——允许非平凡的具有斜张量 torsion 的不变爱因斯坦联络，且存在一个特殊联络使得所有Reeb向量场均被平行化。

ABSTRACT

The space of invariant affine connections on every $3$-Sasakian homogeneous manifold of dimension at least $7$ is described. In particular, the remarkable subspaces of invariant affine metric connections, and the subclass with skew-torsion, are also determined. To this aim, an explicit construction of all $3$-Sasakian homogeneous manifolds is exhibited. The unique $3$-Sasakian homogeneous manifolds which admit nontrivial Einstein with skew-torsion invariant affine connections are those of dimension $7$, that is, $\mathbb{S}^7=\mathrm{Sp} (2)/ \mathrm{Sp(1)}$, $\mathbb{R} P^7=\mathrm{Sp}(2)/ \mathrm{Sp(1)} imes \mathbb{Z}_{2}$ and the Aloff-Wallach space $\mathfrak{W}^{7}_{1,1}= \mathrm{SU}(3)/ \mathrm{U}(1)$. For $\mathbb{S}^7$ and $\mathbb{R} P^7$, the set of such connections is in one to one correspondence with two copies of the conformal linear transformation group of the Euclidean space, while it is strictly bigger for $\mathfrak{W}^{7}_{1,1}$. In addition, the set of invariant connections with totally skew-symmetric torsion whose Ricci tensor is multiple of the metric, with different factors, on the canonical vertical and horizontal distributions, is fully described on every $3$-Sasakian homogeneous manifold. An affine connection satisfying these conditions is distinguished, characterized by parallelizing all the characteristic vector fields associated to the $3$-Sasakian structure. This connection is Einstein with skew-torsion for the $7$-dimensional examples. Several results have also been adapted to the nonnecessarily homogeneous setting. In this case, the above mentioned sets of affine connections are, in general, only proper subsets satisfying the properties.

研究动机与目标

• 描述维度 ≥7 的3-Sasakian齐性流形上不变仿射联络的空间。
• 确定不变度量联络子空间以及具有斜张量 torsion 的联络子空间。
• 识别哪些3-Sasakian流形允许非平凡的具有斜张量 torsion 的不变爱因斯坦联络。
• 刻画具有平行斜张量 torsion 且其里奇张量尊重竖直与水平分布的联络。
• 构造一个规范联络，使其平行化所有Reeb向量场，并在7维例子中满足具有斜张量 torsion 的爱因斯坦条件。

提出的方法

• 通过紧致单李代数的表示理论显式构造所有3-Sasakian齐性流形。
• 利用与3-Sasakian结构相关的切空间的水平与竖直分布分解。
• 通过作用于Reeb向量场的对称矩阵B = (b_{rs})参数化不变仿射联络。
• 应用黎曼联络∇^g，并添加张量项T = ½∑b_{rs}T^{rs}以定义∇ = ∇^g + ½T。
• 通过要求∇T = 0来强制实现平行斜张量 torsion，从而导出关于B的代数约束。
• 通过要求里奇张量的特征子空间与标准竖直与水平分布一致，以限制解的范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些维度 ≥7 的3-Sasakian齐性流形允许非平凡的具有斜张量 torsion 的不变仿射联络，且满足爱因斯坦条件？
• RQ2 在3-Sasakian齐性流形上，具有平行斜张量 torsion 的不变仿射联络空间的结构是什么？
• RQ3 此类联络的里奇张量与曲率如何与标准水平与竖直分布相关联？
• RQ4 能否构造一个规范的不变联络，使其平行化所有三个Reeb向量场，并满足具有斜张量 torsion 的爱因斯坦条件？
• RQ5 对于此类联络的张量矩阵B，其满足平行性与爱因斯坦条件的代数约束是什么？

主要发现

• 仅7维3-Sasakian齐性流形——S⁷、RP⁷以及Aloff-Wallach空间W⁷₁,₁——允许非平凡的具有斜张量 torsion 的不变爱因斯坦联络。
• 在S⁷与RP⁷上，此类联络的集合与欧氏3维空间的共形线性变换群的两个副本之间存在双射关系。
• 在W⁷₁,₁上，此类联络的集合严格大于在S⁷与RP⁷上的集合，表明其结构更丰富。
• 存在一个规范的不变联络，其平行化所有三个Reeb向量场，并在7维例子中满足具有斜张量 torsion 的爱因斯坦条件。
• 张量矩阵B必须满足B = B^t，det(B) = α²，tr(B) = 3ρ/2，且B² = ρI₃，由此导出解ρ = 4（B = 2I₃）或ρ = 4/9（B的特征值为2/3, 2/3, -2/3）。
• 当维度 >7 时，ρ = 4/9 的情况被排除，从而确认仅7维流形支持具有非零斜张量 torsion 的此类联络。