[论文解读] Affine Coxeter Extensions of the Two-Holed Projective Plane

William M. Goldman, Gregory Laun|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文对两孔射影平面（即交叉曲面）基本群的考克斯eter扩张的恰当仿射作用进行分类，表明存在恰当仿射形变且具有克鲁克基本域的空间在射影空间中形成内接于四边形的六边形。论文证明了存在不具克鲁克基本域的恰当作用，将相关结果从可定向双曲曲面扩展至非可定向双曲曲面。

ABSTRACT

A Margulis spacetime is a complete flat affine Lorentzian 3-manifold with free fundamental group. Associated to $M$ is a noncompact complete hyperbolic surface $Σ$. We study double extensions of $π_1 (M) \cong π_1 (Σ)$ when $Σ$ is homeomorphic to a projective plane minus two discs. We classify proper actions of this double extension on Minkowski space and show that there exist proper actions that do not admit crooked fundamental domains.

研究动机与目标

• 对两孔射影平面基本群的考克斯eter扩张的恰当仿射作用进行分类。
• 研究双覆盖于马尔古利斯时空、且微分同胚于两孔交叉曲面的非紧致双曲曲面的仿射轨道空间。
• 将克鲁克基本域理论推广至非可定向双曲曲面。
• 确定此类群的恰当仿射形变是否具有克鲁克基本域。

提出的方法

• 利用两孔射影平面的双理想三角剖分构造克鲁克平面的构型。
• 应用双理想三角剖分理论，对固定理想三角剖分参数化形变空间。
• 利用翻转图编码理想三角剖分变化下的形变空间变化。
• 使用弧复形作为翻转图的对偶，描述完整的形变空间。
• 为三角形基本域的第三条边的同伦类固定一条测地线代表，以 θ 参数化。
• 对形变空间进行射影化，以分析 RP² 中克鲁克基本域的几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个两孔射影平面基本群的考克斯eter扩张的恰当仿射形变是否都具有克鲁克基本域？
• RQ2 具有克鲁克基本域的恰当仿射形变空间与轨道曲面的双曲结构空间有何关系？
• RQ3 此类形变的射影化克鲁克基本域空间的几何形状为何？
• RQ4 是否存在不具克鲁克基本域的恰当仿射形变？若存在，其特征如何？
• RQ5 改变测地线代表 θ 如何影响形变空间的结构？

主要发现

• 对固定 θ，具有克鲁克基本域的恰当仿射形变空间是模空间上以双曲结构为底的六边锥。
• 该锥射影化后形成内接于四边形 Q 的六边形 H，Q 参数化了指数为二的自由群的射影化克鲁克基本域空间。
• 当改变测地线代表 θ 时，六边形变为八边形，因两个顶点被线段取代。
• 存在不具克鲁克基本域的恰当仿射形变，对应于 Q ∖ H 中的点。
• 形变矩阵下正卦限的像投影至 Q 内的五边形 P₁，其顶点位于上方，对应于秩-1矩阵 M₃。
• 通过不同构型构造出第二个五边形 P₂，与 P₁ 相交于更小的四边形 Q_small，从而确认了形变空间的几何结构。