[论文解读] Affine geometric spaces in tangent categories

Richard Blute, G. S. H. Cruttwell+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文通过以平坦无挠联络来刻画仿射几何空间，将仿射几何空间引入切范畴中，表明此类空间的范畴继承了切范畴结构。本文在切范畴的2-范畴上建立了2-余单代数，其中仿射切范畴为Eilenberg-Moore余代数，并提供了平坦无挠联络的新刻画：即从T(TM)到TM的、与诱导几何结构相容的态射。

ABSTRACT

We continue the program of structural differential geometry that begins with the notion of a tangent category, an axiomatization of structural aspects of the tangent functor on the category of smooth manifolds. In classical geometry, having an affine structure on a manifold is equivalent to having a flat torsion-free connection on its tangent bundle. This equivalence allows us to define a category of affine objects associated to a tangent category and we show that the resulting category is also a tangent category, as are several related categories. As a consequence of some of these ideas we also give two new characterizations of flat torsion-free connections. We also consider 2-categorical structure associated to the category of tangent categories and demonstrate that assignment of the tangent category of affine objects to a tangent category induces a 2-comonad. Finally, following work of Jubin, we consider monads and comonads on the category of affine objects associated to a tangent category. We show that there is a rich theory of monads and comonads in this setting as well as various distributive laws and mixed distributive laws relating these monads and comonads. Even in the category of smooth manifolds, several of these results are new or fill in gaps in the existing literature.

研究动机与目标

• 在切范畴的语境中定义并研究仿射几何空间，推广经典仿射流形的概念。
• 证明仿射几何空间的范畴可从基范畴继承切范畴结构。
• 通过迭代切丛之间的态射，提供平坦无挠联络的范畴新刻画。
• 为切范畴构建2-范畴框架，识别出将仿射几何空间分配给每个切范畴时所形成的2-余单代数结构。
• 为从光滑流形抽象出高阶结构（如双monad）至切范畴奠定基础。

提出的方法

• 利用仿射流形与具有平坦无挠联络的流形之间的等价性（Auslander-Markus定理），在切范畴中定义仿射几何空间。
• 将几何空间定义为配备其切丛上联络的对象，而仿射几何空间则定义为具有平坦且无挠联络的空间。
• 将仿射几何空间的范畴构造为几何空间的全子范畴，通过从基范畴提升结构，证明其继承切结构。
• 证明将仿射几何空间分配给任意切范畴的构造，在切范畴的2-范畴上形成一个2-余单代数。
• 利用关于切范畴之间态射的技术性引理，确保结构在函子与自然变换下保持兼容性。
• 使用图示推理与函子提升方法，验证T(TM)与TM上的诱导结构满足新联络刻画所需的公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在切范畴框架内公理化仿射流形？
• RQ2 在何种条件下，配备联络的几何空间范畴（即联络空间范畴）会继承切范畴结构？
• RQ3 平坦无挠联络能否作为迭代切丛之间的态射，以范畴方式加以刻画？
• RQ4 将仿射几何空间范畴分配给每个切范畴时，会涌现出何种2-范畴结构？
• RQ5 在光滑流形范畴中，切函子上的单代数与余单代数结构如何推广至切范畴？

主要发现

• 在具有内禀纤维积的切范畴中，仿射几何空间的范畴本身即为一个切范畴，其结构由基范畴提升而来。
• 对象M上的平坦无挠联络K可等价地刻画为一个态射K: T(TM) → TM，其与K所诱导的典型几何结构相容。
• 将仿射几何空间的切范畴分配给任意切范畴的构造，在切范畴的2-范畴上形成一个2-余单代数。
• 仿射切范畴被识别为该2-余单代数的Eilenberg-Moore余代数，从而为具有平坦无挠联络的结构提供了范畴刻画。
• 该构造保持了遗忘函子的严格性与忠实性，确保与基切范畴结构的一致性。
• 结果推广了Jubin在仿射流形上关于切函子上的单代数与余单代数结构的研究，提示此类结构存在更广泛的抽象框架。