[论文解读] Affine Hecke algebras and generalisations of quiver Hecke algebras for type B

Loïc Poulain d’Andecy, Ruari Walker|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了类型 B 的仿射 Hecke 代数的分次商与由 Varagnolo 和 Vasserot 构造启发的广义分次代数族之间的同构，将 Brundan 和 Kleshchev 的类型 A 同构推广至类型 B，且对特征值无任何限制。关键贡献是通过基于 quiver 的代数，为类型 B 的分次仿射 Hecke 代数提供了一种新表述，从而实现其表示理论的 categorification。

ABSTRACT

We define and study cyclotomic quotients of affine Hecke algebras of type B. We establish an isomorphism between direct sums of blocks of these algebras and a generalisation, for type B, of cyclotomic quiver Hecke algebras which are a family of graded algebras closely related to algebras introduced by Varagnolo and Vasserot. Inspired by the work of Brundan and Kleshchev we first give a family of isomorphisms for the corresponding result in type A which includes their original isomorphism. We then select a particular isomorphism from this family and use it to prove our result.

研究动机与目标

• 将 Brundan 和 Kleshchev 在类型 A 中关于分次 Hecke 代数与分次 KLR 代数之间的同构关系，从类型 A 推广至类型 B 的仿射 Hecke 代数。
• 定义类型 B 仿射 Hecke 代数的分次商 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $，使其在不施加任何特征值限制的情况下，捕捉所有有限维表示。
• 构造一个广义分次代数族，类似于分次 KLR 代数，作为类型 B 表示理论的 categorification 框架。
• 证明该广义代数与类型 B 仿射 Hecke 代数的分次商同构，将类型 A 的结果推广至类型 B 的完全一般情形。

提出的方法

• 通过在顶点集 $ I_{\nu_1} \cup \cdots \cup I_{\nu_l} $ 上定义多重性映射 $ m $，定义仿射 Hecke 代数 $ \text{H}(B_n) $ 的分次商 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $，其中 $ I_{\nu} = \{ \nu^\epsilon q^{2l} \mid \epsilon = \pm 1, l \in \mathbb{Z} \} $。
• 构造一个 quiver $ \Gamma_{\boldsymbol{\nu}} $，其顶点由 $ I_{\nu_1} \cup \cdots \cup I_{\nu_l} $ 索引，且从 $ i $ 到 $ q^2 i $ 存在箭头，推广了 Varagnolo 和 Vasserot 使用的 quiver。
• 将代数 $ V_{\boldsymbol{\nu}}^n $ 定义为与 $ \Gamma_{\boldsymbol{\nu}} $ 关联的分次代数，并通过多重性映射 $ m $ 定义其分次商 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $。
• 建立 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ 与 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ 的块之间的同构族，并从中选取特定同构以证明主结果。
• 在仿射 Hecke 代数的局部化代数 $ \widehat{H}(B_n)^{\text{loc}} $ 中使用局部化技术，验证生成元 $ \Phi^H_0, \Phi^H_1, g_0, g_1 $ 的 braid 关系与交换关系，尤其在涉及 $ X^{-\alpha_0} $ 与 $ X^{-\alpha_1} $ 的情形。
• 通过在局部化代数中的显式计算，验证广义代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ 的定义关系（如 braid 关系及涉及 $ \Phi_0, \Phi_1 $ 的交换子关系）在 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ 中成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将类型 A 中分次 Hecke 代数与分次 KLR 代数之间的同构关系，推广至类型 B 的仿射 Hecke 代数？
• RQ2 对于类型 B，应如何推广分次 KLR 代数，以实现对类型 B 仿射 Hecke 代数表示理论的 categorification？
• RQ3 如何通过分次商完全捕捉类型 B 仿射 Hecke 代数的表示理论，而无需排除 $ \pm 1 $ 作为特征值？
• RQ4 广义代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ 的精确代数结构是什么？它与分次商 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ 有何关系？
• RQ5 能否通过一致的同构族建立 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ 与 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ 之间的同构，且其中某一成员可导出完整结果？

主要发现

• 类型 B 仿射 Hecke 代数的分次商 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ 同构于广义代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $，后者是与具有顶点 $ I_{\nu_1} \cup \cdots \cup I_{\nu_l} $ 和箭头 $ i \to q^2 i $ 的 quiver $ \Gamma_{\boldsymbol{\nu}} $ 关联的分次代数的分次商。
• 该同构通过从同构族中选取特定同构建立，将 Brundan 和 Kleshchev 的类型 A 结果推广至类型 B。
• 该构造消除了 $ \pm 1 $ 不能为特征值的限制，使得所有 $ \widehat{H}(B_n) $ 的有限维表示均可通过这些商代数捕捉。
• 广义代数 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ 扩展了 Varagnolo 和 Vasserot 的代数，将 $ \pm 1 $ 纳入顶点集，使其适用于完整的 categorification。
• 通过局部化与显式计算，验证了 $ V_{\boldsymbol{\nu},m}^n $ 的定义关系（包括 braid 关系与交换子关系，如 $ (\Phi_0^H \Phi_1^H - \Phi_1^H \Phi_0^H)e^H(\mathbf{i}) = (g_0 g_1 - g_1 g_0)e^H(\mathbf{i}) $）在 $ H(B_n)_{\boldsymbol{\nu},m} $ 中成立。
• 在所有情形下，当生成元满足 braid 关系时，braid 关系 $ Br_\Phi e^H(\mathbf{i}) = 0 $ 成立，确认其与广义代数结构的一致性。