[论文解读] Affine Hecke algebras associated to Kac-Moody groups

Howard Garland, I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文通过 Kac-Moody 群的仿射旗流形的余切丛的等变 K-理论，几何地构造了 Cherednik 的双重仿射 Hecke 代数，推广了 Steinberg 代数簇的方法。关键结果是双重仿射 Hecke 代数与 Lagrangian 子簇 $\Lambda \subset T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 的等变 K-理论之间的同构，建立了该代数及其模的几何实现。

ABSTRACT

In this paper we give a geometric construction of Cherednik's double affine Hecke algebra. We construct the algebra as the equivariant $K$-theory of the Lagrangian subvariety of the cotangent variety of the square of the flag variety of $G$, the variety being given by the union of the conormal bundles to the $G$-orbits on $\flag imes\flag$. This is a generalisation of work of Kazhdan and Lusztig to the Kac-Moody case, and is suitable for describing a certain class of modules for this algebra. In a paper in preparation we will do this, in the case $G$ is affine (Cherednik's case).

研究动机与目标

• 通过等变 K-理论提供 Cherednik 的双重仿射 Hecke 代数的几何构造。
• 将 Steinberg 代数簇构造从有限型推广到仿射 Kac-Moody 群。
• 使用 [Gr] 中的技术，为无限维旗流形 $T^*\mathcal{B}$ 定义凝聚层。
• 在等变 K-理论代数中建立双重仿射 Hecke 代数的实现，从而能够研究其模。
• 为在仿射 Kac-Moody 情境下对标准模与不可约模进行分类奠定基础。

提出的方法

• 使用仿射 Kac-Moody 群 $G$ 的旗流形 $\mathcal{B} = G/B$ 及其余切丛 $T^*\mathcal{B}$，推广有限型情形。
• 将 Lagrangian 子簇 $\Lambda \subset T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 定义为 $G$-轨道的余切丛的并集。
• 通过分次映射 $\text{gr}$，将等变 K-理论 $K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ 的像构造代数 $\widehat{H}$。
• 应用 [Gr] 的技术定义 $T^*\mathcal{B}$ 上的凝聚层，从而可使用混合 Hodge 模与分解定理。
• 使用 $P_i$-稳定可接受三元组定义混合 Hodge 模的滤子范畴，并通过 $C_i'$ 函子构造 Hecke 代数的作用。
• 通过按 Bruhat 序对 $K$-理论进行滤子化，利用正合序列与基变换，证明同构 $\widehat{H} \to K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cherednik 的双重仿射 Hecke 代数能否作为 Kac-Moody 群的仿射旗流形余切丛中 Lagrangian 子簇的等变 K-理论被几何实现？
• RQ2 在缺乏有限型结构的情况下，如何为无限维旗流形 $T^*\mathcal{B}$ 定义凝聚层？
• RQ3 在构造 $\widehat{H}$ 的代数结构时，$P_i$-稳定可接受三元组起什么作用？
• RQ4 在等变 K-理论设定下，Hecke 代数 $H$ 与群代数 $\mathbb{C}[X]$ 的作用如何结合以定义 $\widehat{H}$？
• RQ5 在此情境下，Cherednik 的 '傅里叶变换' 的几何意义是什么，为何其非平凡？

主要发现

• 双重仿射 Hecke 代数 $\widehat{H}$ 同构于等变 $K$-理论 $K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$，其中 $\Lambda$ 是 $T^*\mathcal{B} \times T^*\mathcal{B}$ 的 Lagrangian 子簇。
• 该构造推广了 Steinberg 代数簇方法至无限维 Kac-Moody 群，扩展了仿射 Hecke 代数的几何实现。
• $\widehat{H}$ 在 $K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ 上的作用由函子 $C_i'$ 诱导，这些函子通过 $\mathbb{P}^1$-纤维丛的拉回与上推定义。
• 分次映射 $\text{gr}: \mathbb{H} \to K^{T \times \mathbb{C}^*}(\Lambda)$ 是同构，其滤子由 $W$ 上的 Bruhat 序诱导，相应分次项对应于 $\mathcal{B}_w$ 的 $K$-理论。
• 算子 $T_s = \bar{C}_s' - 1$ 满足定义关系 $fT_s - T_s^s f = (q-1)\frac{f - {}^s f}{1 - e^{-\alpha}}$，确认了 $\widehat{H}$ 的代数结构。
• 由 $T \times \mathbb{C}^*$ 在 $\mathcal{B}^s_n$ 上的不动点所生成的标准模在 $\widehat{H}$ 上带有作用，即使这些流形非有理，也暗示了丰富的表示论。