[论文解读] Affine Lie algebras and vertex tensor categories

Yi-Zhi Huang, James Lepowsky|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 1997

Algebraic structures and combinatorial models被引用 2

一句话总结

本文证明了包含有理仿射顶点算子代数张量积的顶点算子代数的模范畴自然地具有顶点张量范畴结构，且其相互作用算子满足结合性。作为关键结果，本文构造了仿射李代数在正整数水平下的标准模的 braided 张量范畴，扩展了共形场论中的先前结果。

ABSTRACT

We apply the general theory of tensor products of modules for a vertex operator algebra developed in our papers hep-th/9309076, hep-th/9309159, hep-th/9401119, q-alg/9505018, q-alg/9505019 and q-alg/9505020 to the case of the Wess-Zumino-Novikov-Witten models and related models in conformal field theory. We show that for the category of modules for a vertex operator algebra containing a subalgebra isomorphic to a tensor product of rational vertex operator algebras associated to affine Lie algebras, the intertwining operators among the modules have the associativity property, the category has a natural structure of vertex tensor category, and a number of related results hold. We obtain, as a corollary and special case, a construction of the previously-studied braided tensor category structure on the category of finite direct sums of standard (integrable highest weight) modules of a fixed positive integral level for an affine Lie algebra.

研究动机与目标

• 将顶点算子代数模的张量积理论推广至 Wess-Zumino-Novikov-Witten 模型的背景中。
• 在包含有理仿射 VOAs 张量积的顶点算子代数的模范畴中，建立相互作用算子的结合性。
• 证明此类模的范畴自然地携带顶点张量范畴结构。
• 从一般张量积理论中恢复并推广仿射李代数在正整数水平下可积最高权模的已知 braided 张量范畴结构。

提出的方法

• 利用先前关于顶点算子代数模张量积的工作（hep-th/9309076, hep-th/9309159 等）分析相互作用算子的结构。
• 将该理论应用于包含与仿射李代数相关联的有理 VOA 张量积同构子代数的顶点算子代数。
• 利用相互作用算子的结合性，在模的范畴上构造顶点张量范畴结构。
• 将一般框架应用于推导仿射李代数在正整数水平下有限直和标准模上的 braided 张量范畴结构。
• 依赖仿射李代数的表示理论及有理顶点算子代数的性质，以确保有限性与模形式性质。
• 证明该范畴在张量积下封闭，并满足顶点张量范畴所需的相干性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 包含有理仿射 VOAs 张量积的顶点算子代数的模范畴是否具有顶点张量范畴结构？
• RQ2 这些模之间的相互作用算子是否在明确定义的意义下满足结合性？
• RQ3 能否从 VOAs 的一般张量积理论中推导出仿射李代数在正整数水平下标准模的已知 braided 张量范畴结构？
• RQ4 哪些条件可确保模的范畴在张量积下封闭并满足顶点张量范畴的公理？
• RQ5 顶点算子代数张量积的一般框架如何应用于 WZNW 模型等共形场论？

主要发现

• 包含有理仿射 VOAs 张量积的顶点算子代数的模范畴具有自然的顶点张量范畴结构。
• 这些模之间的相互作用算子满足张量范畴结构所必需的结合性。
• 仿射李代数在正整数水平下有限直和标准（可积最高权）模的范畴继承了 braided 张量范畴结构。
• 该 braided 张量范畴结构作为一般构造的特例被恢复，证实与先前结果的一致性。
• 该构造为理解基于仿射李代数的有理共形场论中的张量范畴提供了一个统一框架。
• 该结果将顶点算子代数张量积理论的应用范围扩展至 Wess-Zumino-Novikov-Witten 模型等物理上相关的模型。