[论文解读] Affine LPV systems: realization theory, input-output equations and relationship with linear switched systems

Mihály Petreczky, Guillaume Mercère+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Advanced Control Systems Optimization被引用 7

一句话总结

本文为离散时间仿射线性参数变化（LPV）系统建立了类似卡尔曼的实现理论，表明一个输入-输出映射存在仿射LPV实现当且仅当它满足特定类别的仿射多项式输入-输出方程。该理论将实现问题简化为线性切换系统的问题，通过霍尔克矩阵秩条件进行表征，并基于卡尔曼-霍方法提供了一种构造性算法，且在有限霍尔克子矩阵大小界限下保证正确性。

ABSTRACT

We formulate a Kalman-style realization theory for discrete-time affine LPV systems. By an affine LPV system we mean an LPV system whose matrices are affine functions of the scheduling parameter. In this paper we characterize those input-output behaviors which exactly correspond to affine LPV systems. In addition, we characterize minimal affine LPV systems which realize a given input-output behavior. Furthermore, we explain the relationship between Markov-parameters, Hankel-matrices, existence of an affine LPV realization and minimality. The results are derived by reducing the problem to the realization problem for linear switched systems. In this way, as a secondary contribution, we formally demonstrate the close relationship between LPV systems and linear switched systems. In addition we show that an input-output map has a realization by an affine LPV system if and only if it satisfies certain types of input-output equations.

研究动机与目标

• 为离散时间仿射LPV系统发展一种类似于卡尔曼对线性时不变系统所建立的实现理论。
• 通过输入-输出方程和霍尔克矩阵秩条件，表征可由仿射LPV系统实现的输入-输出行为。
• 建立仿射LPV系统实现问题与线性切换系统实现问题之间的等价性，利用后者已知的结果。
• 基于卡尔曼-霍方法，提供一种从输入-输出数据计算最小仿射LPV实现的构造性算法。
• 阐明仿射LPV系统中最小性、可达性、可观察性与同构性之间的关系。

提出的方法

• 直接从输入-输出映射定义马尔可夫参数和霍尔克矩阵，无需假设实现存在。
• 证明一个输入-输出映射具有仿射LPV实现当且仅当其霍尔克矩阵具有有限秩。
• 使用卡尔曼-霍算法从霍尔克矩阵计算实现，通过子矩阵大小的界确保正确性。
• 引入形式为（9）的仿射多项式输入-输出方程，表明实现性等价于满足此类方程。
• 通过形式等价性，将仿射LPV系统的实现问题约化为线性切换系统的实现问题。
• 证明最小实现是同构的，且最小性等价于通过与参数无关的状态变换实现的可达性和可观察性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些输入-输出行为可由仿射LPV系统实现？
• RQ2 霍尔克矩阵需满足何种条件才能确保存在仿射LPV实现？
• RQ3 在仿射LPV系统中，可达性、可观察性与最小性之间有何关系？
• RQ4 哪类输入-输出方程可表征仿射LPV系统？
• RQ5 仿射LPV系统与线性切换系统之间的实现问题存在何种形式关系？

主要发现

• 一个输入-输出映射具有仿射LPV实现当且仅当其霍尔克矩阵具有有限秩。
• 只要使用足够大的霍尔克子矩阵，卡尔曼-霍算法可从霍尔克矩阵正确计算出仿射LPV实现，且提供了子矩阵大小的界。
• 最小仿射LPV实现彼此同构，且最小性等价于可达性与可观察性。
• 一个输入-输出映射可由仿射LPV系统实现当且仅当它满足形式为（9）的仿射多项式输入-输出方程。
• 仿射LPV系统的实现问题在形式上等价于线性切换系统的实现问题，从而可转移已知结果。
• 平移输入-输出映射的集合 $\mathcal{W}_f = \mathrm{Span}\{f^{\underline{p}}\}$ 是有限维的，当且仅当系统可由仿射LPV系统实现。