[论文解读] Affine pavings of regular nilpotent Hessenberg varieties and intersection theory of the Peterson variety

Erik Insko, Julianna Tymoczko|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文在所有李型中建立了正则幂零赫斯enberg流形的仿射铺砌，提供了一种计算其上同调的几何工具。通过交点理论，证明了彼得森流形的上同调嵌入到全旗流形的上同调中，通过舒伯特类展开其类，明确识别出该展开中的一些系数——这是舒伯特演算和赫斯enberg流形拓扑中的关键结果。

ABSTRACT

This paper describes a paving by affines for regular nilpotent Hessenberg varieties in all Lie types, namely a kind of cell decomposition that can be used to compute homology despite its weak closure conditions. Precup recently proved a stronger result; we include ours because we use different methods. We then use this paving to prove that the homology of the Peterson variety injects into the homology of the full flag variety. The proof uses intersection theory and expands the class of the Peterson variety in the homology of the flag variety in terms of the basis of Schubert classes. We explicitly identify some of the coefficients of Schubert classes in this expansion, which is a problem of independent interest in Schubert calculus.

研究动机与目标

• 在所有李型中为正则幂零赫斯enberg流形构造仿射铺砌，以实现上同调计算。
• 通过几何证明，表明彼得森流形到旗流形的包含映射在上同调上诱导出单射。
• 使用舒伯特类展开旗流形上同调中彼得森流形的类，这是舒伯特演算中独立感兴趣的问题。
• 明确识别彼得森流形类在舒伯特展开中的显式系数，推进对其几何与上同调结构的理解。
• 提供一种不同于Precup的方法，利用交点理论与铺砌分解研究赫斯enberg流形的拓扑。

提出的方法

• 通过适配赫斯enberg条件的Bialynicki-Birula型分解，为正则幂零赫斯enberg流形构造仿射铺砌。
• 利用铺砌证明等变形式性及上同调中几何基本类的存在性。
• 应用经典交点理论，计算舒伯特流形与彼得森流形中铺砌胞腔闭包之间的交点个数。
• 通过交点重数，将彼得森流形中每个铺砌胞腔的上同调类分解为舒伯特类。
• 利用所得展开式，证明从彼得森流形到旗流形的上同调映射是单射。
• 显式计算与铺砌胞腔相关的某些矩阵的行列式，以验证交点数非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在所有李型中为正则幂零赫斯enberg流形构造仿射空间铺砌？
• RQ2 彼得森流形到全旗流形的包含映射是否在上同调上诱导单射？
• RQ3 彼得森流形的上同调类如何在旗流形的舒伯特基类中展开？
• RQ4 彼得森流形类在舒伯特展开中的显式系数是什么？
• RQ5 能否使用交点理论几何地验证彼得森流形到旗流形的上同调映射的单射性？

主要发现

• 在所有李型中为正则幂零赫斯enberg流形构造了仿射铺砌，证明其为等变形式，并具有几何基本类。
• 彼得森流形到旗流形的包含映射在上同调上诱导单射，通过交点理论方法证明。
• 彼得森流形在旗流形上同调中的类展开为舒伯特类的线性组合，其中若干项的系数已显式计算。
• 对应于单位元的舒伯特类的系数为1，其他系数由非零交点数确定。
• 通过铺砌胞腔导出的某些矩阵的行列式用于验证交点的非退化性，确认对舒伯特展开有非零贡献。
• 该方法为Harada-Tymoczko早期的组合结果提供了几何解释，通过拓扑与交点理论基础强化了该结果。