[论文解读] Affine planes, ternary rings, and examples of non-Desarguesian planes

Nikolai V. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Mathematics and Applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文以三元环为工具，对仿射平面及其坐标系进行了自包含的阐述，引入了表示三元运算的新记号⟨ax+b⟩。通过证明左或右拟域中乘法不满足结合律或分配律（如左安德烈拟域）可构造出非笛沙格平面，这些平面与任何除环定义的平面都不同构，从而提供了非笛沙格几何的显式例子。

ABSTRACT

The paper is devoted to a detailed self-contained exposition of a part of the theory of affine planes leading to a construction of affine (or, equivalently, projective) planes not satisfying the Desarques axiom. It is intended to complement the introductory expositions of the theory of affine and projective planes. A novelty of our exposition is a new notation for the ternary operation in a ternary ring, much more suggestive than the standard one.

研究动机与目标

• 提供仿射平面及其代数坐标的完整、自包含阐述，使用三元环作为工具。
• 通过展示非除环坐标系如何产生非笛沙格平面，弥合组合几何与抽象代数之间的鸿沟。
• 引入一种更直观的新记号⟨ax+b⟩，用于三元环中的三元运算，以增强理论的可读性。
• 利用左拟域和右拟域中乘法不满足结合律或分配律的代数结构，显式构造非笛沙格仿射平面。
• 证明此类平面无法由任何除环坐标化，从而证明其非笛沙格性质。

提出的方法

• 通过公理化方式定义仿射平面，并证明每个仿射平面均存在一个三元环上的坐标系。
• 引入新记号⟨ax+b⟩表示三元运算，替代标准记法(a,x,b)↦x·a∘b，以提升清晰度与直观性。
• 建立三元环与其对应仿射平面之间的同构与同态条件。
• 利用伽罗瓦理论构造具有有限自同构群的域扩张，从而实现非结合与非分配拟域的构造。
• 应用定理12、17与19，证明在左或右拟域上构造的仿射平面若其代数性质存在缺陷，则与任何除环定义的平面均不同构。
• 通过自同构与从乘法群到自同构群的同态φ，构造左安德烈拟域，确保其乘法不满足结合律或右分配律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用三元环对仿射平面进行坐标化？三元环的哪些代数性质对应于几何公理？
• RQ2 三元环需满足何种条件，才能使其对应的仿射平面满足笛沙格公理？
• RQ3 能否利用除环以外的代数结构显式构造非笛沙格仿射平面？
• RQ4 自同构与伽罗瓦理论构造在生成非结合或非分配拟域中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，由拟域定义的平面与任何由除环定义的平面均不同构？

主要发现

• 由除环定义的仿射平面满足笛沙格公理，反之，若一个平面满足笛沙格公理，则其可由除环坐标化。
• 三元运算的新记号⟨ax+b⟩显著提升了三元环理论的可读性与可及性。
• 左安德烈拟域中若乘法不满足结合律，则其生成的仿射平面与任何除环定义的平面均不同构，因此为非笛沙格平面。
• 在右拟域中若右分配律不成立，则其生成的平面亦为非笛沙格平面，因其无法由任何除环坐标化。
• 左拟域中若左分配律不成立，同样可生成非笛沙格平面，此结论由定理17支持，并通过与左拟域平面的非同构性得以证明。
• 通过伽罗瓦理论选择自同构群与同态φ，可实现此类平面的显式构造，从而支持非结合或非分配代数结构的构建。