[论文解读] Affine sl_p controls the representation theory of the symmetric group and related Hecke algebras

I. Grojnowski|ArXiv.org|Jul 21, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 85

一句话总结

本文证明了仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 通过在格罗滕迪克群上的作用，控制对称群及其相关霍克代数的模表示理论。本文引入了 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的可积表示的一个新 $p$-典范基，该基与全局晶体基共享非负性和整数性等性质，并证明了不可约表示的晶体图与代数的标准晶体结构一致。

ABSTRACT

In this paper we prove theorems that describe how the representation theory of the affine Hecke algebra of type A and of related algebras such as the group algebra of the symmetric group are controlled by integrable highest weight representations of the characteristic zero affine Lie algebra \hat{sl}_l. In particular we parameterise the representations of these algebras by the nodes of the crystal graph, and give various Hecke theoretic descriptions of the edges. As a consequence we find for each prime p a basis of the integrable representations of \hat{sl}_l which shares many of the remarkable properties, such as positivity, of the global crystal basis/canonical basis of Lusztig and Kashiwara. This {\it $p$-canonical basis} is the usual one when p = 0, and the crystal of the p-canonical basis is always the usual one. The paper is self-contained, and our techniques are elementary (no perverse sheaves or algebraic geometry is invoked).

研究动机与目标

• 建立仿射霍克代数表示理论与仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的可积表示理论之间的深刻联系。
• 利用对称群和霍克代数的表示理论，提供 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$-模的一个新且初等的 $p$-典范基构造。
• 证明该 $p$-典范基具有与卢斯蒂格和柏原的全局晶体基类似的关键性质，如非负的结构常数和整数性。
• 证明在特征 $p$ 下对称群的不可约表示的晶体图同构于 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$-模的标准晶体图。

提出的方法

• 为特征 $p$ 或 $0$ 的域上的仿射霍克代数和循环霍克代数的表示定义格罗滕迪克群构造。
• 在模范畴上构造算子 $e_i$ 和 $f_i$，它们在通过格罗滕迪克群后可提升至仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$。
• 利用这些算子的余 socle 膜层定义晶体算子，从而在不可约表示上赋予组合结构。
• 证明仿射霍克代数的格罗滕迪克群同构于 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的上三角部分的泛包络代数 $U\eta_\ell$ 的对偶，且该结构携带一个最高权模作用。
• 将 $p$-典范基定义为在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的仿射霍克代数的不可约表示的对偶，其中 $q$ 是单位 $\ell$ 根。
• 证明 $p$-典范基对 $e_i$ 和 $f_i$ 的作用具有非负整数结构常数，且当 $p=0$ 时退化为卢斯蒂格和柏原的全局晶体基。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 $p$ 下，对称群的表示理论与仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$ 的表示理论有何关系？
• RQ2 能否从霍克代数的模表示理论出发，构造 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的可积表示的新基，使其具有与全局晶体基类似的性质？
• RQ3 晶体图在组织正特征下对称群和霍克代数的不可约表示中起什么作用？
• RQ4 仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的卡利根生成元 $e_i$ 和 $f_i$ 如何作用于霍克代数表示的格罗滕迪克群上？
• RQ5 $p$-典范基与卢斯蒂格和柏原的典范基之间有何关系？

主要发现

• 在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上，当 $q$ 是单位 $\ell$ 根时，仿射霍克代数的格罗滕迪克群同构于 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的上三角部分的泛包络代数 $U\eta_\ell$ 的对偶，从而确立了霍普夫代数结构。
• 循环霍克代数 $H_n^\lambda$ 的格罗滕迪克群对偶于 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的一个不可约可积最高权模，其最高权由 $\lambda$ 决定，推广了对称群的情形。
• $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的 $p$-典范基被定义为在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的仿射霍克代数的不可约表示的对偶，且其对 $e_i$ 和 $f_i$ 作用的结构常数为非负整数。
• $p$-典范基可下降为 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 的所有可积最低权模的基，且其结构常数为非负整数。
• 当 $p=0$ 时，$p$-典范基与卢斯蒂格和柏原的全局晶体基（典范基）重合，且 $p$-典范基的晶体图与标准晶体图完全一致。
• 在特征 $p$ 下，对称群 $S_n$ 的不可约模表示数的生成函数等于 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$ 的基本表示的特征标，该特征标被实现为福克空间。