[论文解读] Affine stacks (Champs affines)

B. Toen|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2000

Avian ecology and behavior被引用 4

一句话总结

本文引入仿射堆栈（affine stacks）作为仿射概形的同伦推广，为有理数与p进同伦理论提供了新框架。通过一个普遍的仿射化函子构造了概形态同伦型，解决了格罗滕迪克的概形化问题，其适用范围超越了有理数与p进情形，并通过代数簇的同伦模型统一了多种上同调理论。

ABSTRACT

This is an expended and revised version of the preprint "Schematization of homotopy types". The purpose of this work is to introduce a notion of \emph{affine stacks}, which is a homotopy version of the notion of affine schemes, and to give several applications in the context of algebraic topology and algebraic geometry. As a first application we show how affine stacks can be used in order to give a new point of view (and new proofs) on rational and $p$-adic homotopy theory. This gives a first solution to A. Grothendieck's \emph{schematization problem} described in \cite{gr}. We also use affine stacks in order to introduce a notion of \emph{schematic homotopy types}. We show that schematic homotopy types give a second solution to the schematization problem, which also allows us to go beyound rational and $p$-adic homotopy theory for spaces with arbitrary fundamental groups. The notion of schematic homotopy types is also used in order to construct various homotopy types of algebraic varieties corresponding to various cohomology theories (Betti, de Rham, $l$-adic, ...), extending the well known constructions of the various fundamental groups. Finally, as algebraic stacks are obtained by gluing affine schemes we define \emph{$\infty$-geometric stacks} as a certain gluing of affine stacks. Example of $\infty$-geometric stacks in the context of algebraic topology (moduli spaces of dga structures up to quasi-isomorphisms) and Hodge theory (non-abelian periods) are given.

研究动机与目标

• 通过仿射堆栈发展仿射概形的同伦推广，使有理数与p进同伦理论获得新的几何解释。
• 通过引入概形态同伦型作为具有任意基本群的空间的普遍构造，解决A. 格罗滕迪克的概形化问题。
• 通过为代数簇关联概形态同伦型，统一多种上同调理论（如Betti、de Rham、l进、晶体上同调）。
• 将∞-几何堆栈定义为仿射堆栈的粘合，将模理论扩展至包括dga在同调等价下的结构。
• 通过滤化dga结构构造非交换周期映射，推广经典阿贝尔-雅可比理论。

提出的方法

• 使用基环上仿射概形的fpqc范畴上的单纯预层作为∞-群胚取值堆栈的模型。
• 将仿射堆栈定义为由共连通余单纯代数表示的同伦型，推广了仿射概形。
• 构造一个从同伦型到仿射堆栈的普遍仿射化函子，满足导出的普遍性质。
• 通过函子性普遍构造，将概形态同伦型引入为有理数与p进同伦型的精化。
• 将仿射化函子应用于构造与Betti、de Rham、l进与晶体上同调理论相关的同伦型。
• 将∞-几何堆栈定义为仿射堆栈的∞-范畴余极限，使dga结构与滤化代数的模问题成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射堆栈如何作为仿射概形的同伦推广，用于建模有理数与p进同伦型？
• RQ2 从同伦型到仿射堆栈的普遍函子是否能超越有理数与p进情形，解决格罗滕迪克的概形化问题？
• RQ3 概形态同伦型如何通过同伦模型统一不同上同调理论（如Betti、l进、晶体）？
• RQ4 滤化dga结构在定义非交换周期映射及控制霍奇滤子变化中起什么作用？
• RQ5 ∞-几何堆栈如何将代数结构的模理论扩展至经典代数堆栈之外？

主要发现

• 仿射化函子提供了一个普遍构造，为任意同伦型分配一个满足导出普遍性质的仿射堆栈。
• 概形态同伦型作为格罗滕迪克概形化问题的第二个解，适用于具有任意基本群的空间。
• 对于复射影簇，概形态同伦型携带一个广义霍奇结构，其可延拓至基本群与有理同伦型。
• l进概形态同伦型携带连续的伽罗瓦作用，而晶体型支持F-等晶结构。
• 通过仿射堆栈的粘合，构造了分类dga结构（模同调等价）的∞-几何堆栈。
• 通过滤化dga结构定义了非交换周期映射，控制光滑射影簇族中霍奇滤子的变化。