[论文解读] Affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and special cases of the local Langlands correspondence in positive characteristic

Kazuki Tokimoto|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

本文在正特征基域上的Lubin-Tate完美化空间中构造了仿射开集的显式族，表明其形式模型的约化在上同调中实现了某些表示的局部Langlands对应与Jacquet-Langlands对应。关键结果是这些表示由具有完全分歧扩张的最小可接受对参数化，从而在本质上可除的设定下实现了几何实现。

ABSTRACT

Following Weinstein, Boyarchenko-Weinstein and Imai-Tsushima, we construct a family of affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and formal models such that the cohomology of the reduction of each formal model realizes the local Langlands correspondence and local Jacquet-Langlands correspondence for certain representations. In this paper, the base field is assumed to be of positive characteristic. In the terminology of essentially tame local Langlands correspondence, the representations treated here are characterized as being parametrized by minimal admissible pairs in which the field extensions are totally ramified.

研究动机与目标

• 在正特征局部域上的Lubin-Tate完美化空间中，构造显式仿射开集族。
• 定义这些仿射开集的形式模型，其约化可实现局部Langlands对应关系的上同调实现。
• 确立这些约化上同调群对特定表示实现局部Jacquet-Langlands对应关系。
• 将涉及的表示表征为由具有完全分歧扩张的最小可接受对参数化的表示。
• 将先前在本质上可除的局部Langlands对应关系中的几何构造扩展至正特征设定。

提出的方法

• 利用Weinstein、Boyarchenko-Weinstein以及Imai-Tsushima发展出的完美化空间与形式模型框架。
• 在正特征局部域上与p进李群相关的Lubin-Tate完美化空间内，构造一族仿射开子集。
• 定义这些仿射开集的形式模型，其在基域整环上是正规且平坦的。
• 分析这些形式模型的特殊纤维（约化），以获取其上同调群。
• 利用约化的上同调，通过局部Langlands对应关系实现Weil-Deligne群的不可约表示及其对应的GL(n)表示。
• 聚焦于由最小可接受对参数化的表示，其中关联的域扩张为完全分歧的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过完美化空间在本质上可除设定下几何实现局部Langlands对应关系？
• RQ2 Lubin-Tate完美化空间中的哪些特定仿射开集族可实现局部Langlands对应关系的上同调实现？
• RQ3 这些仿射开集的形式模型的约化以何种方式实现局部Langlands与Jacquet-Langlands对应关系？
• RQ4 最小可接受对中具有完全分歧扩张的结构在参数化通过上同调实现的表示中起什么作用？
• RQ5 正特征基域设定如何影响构造过程及由此产生的上同调实现？

主要发现

• 每个构造的仿射开集的形式模型的约化上同调群实现了某些表示的局部Langlands对应关系。
• 相同的上同调群也实现了对应表示的局部Jacquet-Langlands对应关系。
• 涉及的表示由最小可接受对参数化，其中关联的域扩张为完全分歧的。
• 该几何构造在正特征下为本质上可除的局部Langlands对应关系提供了新的实现方式。
• 该方法成功地将特征零情形下的先前结果通过完美化几何推广至正特征情形。
• 形式模型被证明在整环上是正规且平坦的，从而保证了其上同调性质的良好行为。